Комплексные числа

1.

2.

Мнимая единица
Допустим, что существует такое число, квадрат
которого равен (– 1).
Обозначим это число буквой i.
Тогда можно записать: i2 = - 1.
Число i – называется мнимой единицей.
Из равенства i2 = - 1 находим i 1 . Введение
мнимой единицы позволяет нам теперь извлекать
квадратные корни из отрицательных чисел.
Например:
36 36( 1) 36 1 6i
2

3.

2 ;3 3 2
iiii4342431
2
i
i
(
(
1
1
)
)
i
i
i
;
i
;
2
1
1
;
;
2
1
4
3
3
3
2
2
2
2
2
3
2
i
i
i
i
i
(
i
i
i
(
1
)
i
i
;
4
3
2
i
1
;
3
2
i
1
;
iiii33244
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
(
(
1
1
i
(
(
1
1
)
)
i
i
;
;
i
3
2
2
2
ii2ii53i4344i 4 i iiiii2ii(2ii4i3i3 ii i3 i1 ( ( () ( i 1 1 1 1) i))iii)ii iii i i ii i ; i i ;i;i; ; i 3 2iiii222 2 ( ((1(( ) 1 1
iiii5545545i4i iii3444(3443iii
1
)
i
;
3
2
i
i
i
i
(
1
2
2
2
i
1
i
i
;
i
i
i
(
1
)
i
i
i
(
1
i
i
1
1
i
i
i
i
;
;
i
i
i
i
i
(
(
1
1
4
4
3
3
2
2
5
4
3
2
iiii45i545i 5
i
i
1
i
i
;
i
i
1
i
i
;
i
i
i
i
i
i
i
i
(
(
1
1
)
)
1
1
;
;
i
i
1
i
i
;
3
3
2
2
4
4
4
i
i
i
(
1
)
1
;
3
2
6
5
2
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
(
(
1
1
)
)
1
1
;
;
i
i
i
i
i
1
1
i
i
;
i
;
4
3
i
i
i
1
i
i
;
4
3
6
6
6
5
5
5
2
2
2
5
4
5
5
4
4
i i i i i ( 1
iii55666
i44i 555 iii
i iii iii;i;i222 ii i i1 11 ;;; ii i
i
i
1
1
ii45i6656
i4i4 i5 5ii5 iii11 iiii i ii;i; 2iii222 11;;
i
i
6
i4i7i677676i i i i i5665665 i1 i i i i ii
11 i ii i ; i i ii
;; i i2i225 5 41 4;11;;
ii(i((
ii111i2 2 );)) i i iiii i
i i1ii 1;i ;i;;i; 11 i
i666 6 1iii
iiiii6676i767 7 ii i5i5ii5
i
i
(
1
i
i
;
5 i6 6ii
22)
i
i
i
i
i
1
1
;
;
i
(
1
)
i
7
7
7
1 1;;i
;55ii;;
ii5ii875877i i i i i76767 6i iii i i ii
i i (i(ii (
2 1 1i
)i1)2 )i
ii i16 6
;
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
(
(
1
1
)
)
i
i
i
;
;
i
i
i
i
i
i
1
.
8
7
i
i
1
.
.
8
7
7
7
6
6
i 8 i 7 i i i 1;
3

4.

Пример.
28
33
Вычислить: i ; i ; i
135
.
Решение:
i (i ) ( 1) 1
28
2 14
14
i i i (i ) i ( 1) i 1 i i
i
33
32
135
i
134
2 16
16
i (i ) i ( 1) i 1 i i
2 67
67
4

5.

Определение
Комплексные числа представляются в виде
выражения:
z = x + i y,
где x, y – вещественные числа;
x – действительная часть числа z (Rez);
y – мнимая часть числа z (Imz);
i – мнимое число (величина, для которой
выполняется равенство i2=-1).
i2 = -1

6.

Геометрическое изображение комплексных
чисел
Всякое комплексное число z a i b, можно изобразить на плоскости
XOY в виде точки A(a; b).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют
плоскостью комплексной переменной.
y
A(a; b)
z
b
0
Точкам, лежащим на оси OX, соответствуют
действительные числа (b = 0), поэтому ось
a
OX называют действительной осью.
х
Точкам, лежащим на оси OY , соответствуют чисто мнимые числа (a = 0),
поэтому ось OY называют мнимой осью.
Иногда удобно считать геометрическим изображением комплексного числа
z вектор
OA

7.

Действия над комплексными числами
1
Равенство комплексных чисел.
Два комплексных числа z1 a1 i b1 и z2 a2 i b2
равными : z1 z2 , если a1 a2 , b1 b2
Комплексное число z a i b
a 0,
2
называются
равно нулю , тогда и только тогда, когда
b 0
Сложение и вычитание комплексных чисел.
Суммой (разностью) комплексных чисел z1 a1 i b1 и
называется комплексное число, определяемое равенством:
z2 a2 i b2
z1 z2 a1 i b1 a2 i b2 a1 a2 i b1 b2
z1 z2 a1 i b1 a2 i b2 a1 a2 i b1 b2

8.

Сложение
(а+bi) + (c+di)=(a+c) + (b+d)i
Вычитание
(а+bi)- (c+di)=(a-c) + (b-d)i
8

9.

Пример.
z1 = 2 + 3i, z2 = 5 – 7i.
Найти: а) z1 + z2; б) z1 – z2.
Решение:
а) z1 + z2 =(2 + 3i) + (5 – 7i) =
=(2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i;
б) z1 – z2 =(2 + 3i) – (5 – 7i) =
=(2 – 5) + (3i + 7i) = – 3 + 10i.
9

10.

Действия над комплексными числами
Сложение и вычитание комплексных
чисел, изображенных векторами
производится по правилу сложения или
вычитания векторов:
y
z
z1
z1 - z2
z2
0
3
z1 + z 2
х
Умножение комплексных чисел.
Умножением комплексных чисел z1 a1 i b1 и z2 a2 i b2
называется число, получаемое при умножении этих чисел по правилам
алгебры как двучлены, учитывая что
i 2 1;
i 3 i ;
i 4 i i 1;
i5 i
i 4k 2 1;
i 4k 3 i
При любом целом k:
i 4k 1;
i 4k 1 i ;

11.

Действия над комплексными числами
На основании этого правила получим:
z1 z2 a1 i b1 a2 i b2
a1 a2 i b1 a2 i b2 a1 i 2 b1 b2
z1 z2 a1 a2 b1 b2 i b1 a2 b2 a1
Произведение сопряженных комплексных чисел:
z z (a i b ) (a i b ) a 2 (i b)2 a 2 b 2
z z a b z
2
2
2

12.

Умножение
(а+bi)(c+di) =
= ac + аd i + bс i + bd
2
I =
Учитывая
i2 =-1
= ac-bd + (ad+bc)i
12

13.

Пример 1.
Вычислить: (2 + 3i)(5 – 7i)
Решение:
(2 + 3i)(5 – 7i) = 10-14i + 15i-21i2 = 10-14i + 15i+21 = 31+I
Пример 2.
Вычислить: (4 + 5i)(4 – 5i)
Решение:
(4 + 5i)(4 – 5i) = 42 – (5i)2 = 16 + 25 = 41
13

14.

Действия над комплексными числами
4
Деление комплексных чисел.
Чтобы разделить
z1 a1 iна b1
z2 a2 i b2
необходимо умножить делимое и делитель на число, сопряженное делителю:
z1 a1 i b1
(a1 i b1 ) (a2 i b2 )
z2 a2 i b2 (a2 i b2 ) (a2 i b2 )
(a1a2 b1b2 ) i (a2b1 a1b2 )
2
2
a2 b2
a1a2 b1b2
a2b1 a1b2
i 2
2
2
2
a2 b2
a2 b2

15.

Пример. Вычислить:
2 3i
5 7i
Решение:
(2 3i ) (2 3i ) (5 7i ) 10 14i 15i 21i 2
2
2
(5 7i ) (5 7i ) (5 7i )
5 (7i )
10 29i 21 11 29i
11 29
i
= 25 49
74
74 74
=
(2 3i )
11 29
= (5 7i) 74 74 i
15

16.

Пример. z1 2 3i, z2 1 4i
Найти: z1 z2; z1/z2.
Решение:
z1 2 3i ,
z2 1 4i
z1 z2 2 3i 1 4i 2 3i 8i 12i 2
= -1
2 3i 8i 12 14 5i
z1 2 3i
(2 3i ) (1 4i ) 2 3i 8i 12i 2
2
2
z2 1 4 i
(1 4i ) (1 4i )
1 4
10 11
10 11i
2 3i 8i 12
i
17 17
17
17

17.

Тригонометрическая форма записи
комплексных чисел
Обозначим через r модуль вектора OA , через φ угол между вектором OA и
положительным направлением оси OX.
Тогда имеют место равенства:
y
z
b
0
A(a; b)
r
a r cos ;
b r sin
Следовательно, комплексное число z можно
представить в виде:
φ
a
х
a i b r cos i r sin
z r (cos i sin )
b
arg z arctg
a
Аргумент комплексного числа z считается положительным, если он
отсчитывается от положительного направления оси OX против часовой
стрелки. Очевидно, что φ определяется не однозначно, а с точностью до
слагаемого
2 k k Z.

18.

Действия над комплексными числами
Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
z1 r1(cos 1 i sin 1 )
z2 r2 (cos 2 i sin 2 )
тогда произведение находится по формуле:
z1 z2 r1 r2 (cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ))
z1 r1
(cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ))
z2 r2

19.

Пример 1.
Преобразовать число z=3+4i в тригонометрическую форму.
Решение:
z 3 4i a 3; b 4
r z a 2 b 2 32 4 2 25 5
b
4
arg z arctg arg z arctg
a
3
4
z 5(cos i sin ), где arg z arctg
3
Пример 2.
Представить число z=4(cos300+isin300) в алгебраическую
форме.
Решение:
3
1
z 4(cos 30 i sin 30 ) 4
i 2 3 4i
2
2
0
0

20.

Пример 3.
z1 = 3(cos200+isin200); z2;= 2(cos250+isin250)
Найти: z1 z2; z1/z2.
Решение:
z1 z 2 r1 r2 (cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ))
z1 z 2 3 2(cos(200 250 ) i sin(200 250 ))
2
2
0
0
3 2 3 2i
z1 z 2 6(cos 45 i sin 45 ) 6
i
2
2
z1 r1
(cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ))
z 2 r2
z1 3
(cos(200 250 ) i sin(200 250 ))
z2 2
z1
1,5 (cos( 50 ) i sin( 50 )) 1,5 (cos 50 i sin 50 )
z2

21.

Пример. Решите уравнение:
x2 – 6x + 13 = 0
Решение
Найдем дискриминант по формуле
D = b2 – 4ac, где a = 1, b = – 6, c = 13
D = (– 6)2 – 4×1×13 = 36 – 52 = – 16;
D 16 16 ( 1) 16 1 4i
Корни уравнения находим по формулам
6 4i
6 4i
x2
3 2i
x1
3 2i
2
2
21