Матрицы и определители. Лекция 1

1.

ЛЕКЦИЯ 1
Матрицы и
определители

2.

КВАНТОРЫ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
] – пусть; ( ) – и;
– или;
– не;
– для любого, для всех;
: – такой, что;
– существует;
! – единственный;
– стремится;
– следует,
следовательно;
– тогда и только тогда;
– сумма;
– произведение;
– знак объединения;
– знак пересечения;

3.

1. Матрицы

4.

Термин «матрица»
ввел английский математик
Джеймс Джозеф Сильвестр.
1814–1897
«Математика – музыка разума».
Джеймс Джозеф Сильвестр

5.

Матрицей размера m n называется
прямоугольная числовая таблица,
состоящая из m строк и n столбцов.
a11 a12
a
a22
21
...
...
a
m1 am 2
...
...
aij
...
Числа аij –
a1n
элементы
a2 n
(1.1) матрицы, где
... i – номер строки
amn
j – номер столбца.
Обозначения:
A, B, C … или (aij), (bij), (cij) ...

6.

Примеры
0 4
А
1 7
2 2
111
В 3 3 3
5 5 5
3 3
9 2
С 2 0
3 0
3 2

7.

1.1. Виды матриц

8.

1. Прямоугольная матрица
Матрица, в которой число строк не равно числу
столбцов, называется прямоугольной.
0 1 2
A2 х 3
1 7 0

9.

2. Матрица-строка и матрица-столбец
Матрица-строка (1 n)
A a1 a2 ... an
Матрица-столбец (n 1)
b1
b
B 2
...
bn

10.

3. Нулевая матрица
Матрица, все элементы которой
равны нулю, называется нулевой.
Обозначается буквой О.
Нулевая
0 ... 0
Оmxn ... ... ...
0 ... 0

11.

4. Квадратная матрица (m=n)
a11
a 21
A
....
a
n1
a12
a 22
....
an2
.... a1n
.... a 2 n
(1.2)
..... .....
..... a nn
Матрица, у которой число строк равно числу
столбцов называется квадратной.
Квадратную матрицу размера
матрицей n - го порядка.
n n
называют

12.

Примеры
Квадратные матрицы
5 11
А 2 4 2
3 1 3
3-го порядка
7 2
B
1 5
2-го порядка

13.

5. Диагональная матрица
a11 0 0 ... 0 0... 0
a
11 0 a 0 ... 0
А 0 0 a22 022 ...a 0... 0diag
(1. 3a
) 11, a22,..., ann .
33
... ... ... ... ... ... ...... ...
0 0 0 0 ... 0 a ... a
nn nn
Элементы квадратной матрицы с одинаковыми
индексами от a11 к ann, образуют главную
диагональ.
Квадратная матрица, у которой все элементы,
кроме элементов главной диагонали, равны нулю,
называется диагональной. (1.3) – диагональная.

14.

Примеры
1 0 0
А 0 3 0
0 0 5
7 0
B
0 5
Диагональная матрица 3-го порядка Диагональная матрица 2-го порядка

15.

6. Единичная матрица
Диагональная матрица, у которой каждый элемент
главной диагонали равен единице,
называется единичной.
Обозначается буквой Е или I.

16.

1
0
Е2 diag 1, 1 0 1
Еn diag 1, 1, ...,1
1 0 0
Е3 diag 1, 1, 1 0 1 0
0 0 1
16

17.

7. Треугольная матрица
Квадратная матрица называется треугольной, если
все элементы, расположенные по одну сторону от
главной диагонали, равны нулю.
Примеры
верхнетреугольная
нижнетреугольная
111
А 0 3 3
0 0 5
7
B
1
0
5

18.

8. Транспонированная матрица
Матрица, полученная из данной заменой каждой
её строки столбцом с тем же номером, называется
матрицей транспонированной к данной.
Обозначается AT.
Пример
0 3
А 1 4
2 5
0
1
2
А 3 4 5
T
(АТ)Т=А

19.

9. Симметрическая матрица
• Если AT = A то матрица A называется симметрической.
Пример
1
2
3
1 2 3
Т
С 2 3 0 С 2 3 0 C
3 0 5
3 0 5

20.

10. Кососимметрическая матрица
КТ= - К
Пример
0 2 3
К 2 0 1
3 1 0

21.

11. ТРАПЕЦИЕВИДНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ
- aii 0.
- aij - любое, j>i.

22.

12. Равные матрицы
Две матрицы
A= (aij) и B=(bij)
называются равными,
если
1) Размеры
матриц
совпадают
2) Соответствующие
элементы матриц
равны:
aij=bij,
i=1,…,m; j=1,…,n.

23.

1.2. Операции над матрицами

24.

Сумма матриц
Сложение и вычитание матриц возможно, если
эти матрицы имеют одинаковый размер.
Суммой матриц A=(aij) и B=(bij)
размера m n называется матрица C=(cij) размера m n,
каждый элемент которой равен сумме соответствующих
элементов матриц A и B.
cij aij bij , ( i 1 , m ; j 1 , n )

25.

Сумма матриц
Пример
2 3 4 5 2 4 3 5 6 2
A B
1 0 2 8 1 2 0 8 1 8

26.

Пример
Найти разность матриц
33
0 2
A 1 0 и B 3 1 .
1 2
2 2
3 3 0 2 3 0 3 2 3 1
A B 1 0 3 1 1 3 0 1 4 1 .
1 2 2 2 1 2 2 2 1 0

27.

Умножение матрицы на число
Произведением матрицы A=(aij) и числа
называется матрица того же размера,
элементы которой равны aij.
2
1 2 3
А 0 0 4 2 А 0
0 0 5
0
4 6
0 8 .
0 10

28.

Свойства суммы матриц и
умножения матрицы на число

29.

Пусть A, B, C, О ─ матрицы
одного размера, а , , - числа.
1. Коммутативность суммы матриц
A B B A

30.

2. Ассоциативность сложения матриц
( A B) C A ( B C )

31.

3. Дистрибутивность
( A B) A B
число.
A A A , , - числа.

32.

4.
А+О=А
О – нулевая матрица, того же размера, что и А.

33.

Произведение матриц

34.

Умножение матриц выполнимо, если число
столбцов первой матрицы равно числу
строк второй.

35.

Умножение
строки на столбец
b1
b2
A a1, a2 , , an , B .
b
n
AB a1b1 a2b2 anbn .
Пример
1
A 3 , 1 , 4 , B 0 .
3
AB 3 1 1 0 4 3 15.

36.

Умножение матрицы на столбец
Каждая строка матрицы скалярно
умножается на столбец
3 1 2 8 3 8 1 7 2 2 21
4 2 0 7 4 8 2 7 0 2 46
5 6 1 2 5 8 6 7 1 2 4

37.

Произведением матриц A=(aij) (размера m p)
B=(bij) (размера p n) называется матрица
C=(cij) (размера m n), элементы cij которой
вычисляются как скалярное произведение i – й
строки матрицы A и j – го столбца матрицы B.
и
Умножение матриц
b1 j
b2 j
a a a
i1 i 2
ip
b
pj
.
cij

38.

Пример
2 6 1 2 0
Найти произведение матриц
.
1 2 0 1 3
2 2 6 ( 1)
2 0 6 3
2 1 6 0
1 1 ( 2) 0 1 2 ( 2) ( 1) 1 0 ( 2) 3
2 2 18
1 4 6

39.

A B B A
Вообще говоря, если произведения АВ и ВА существуют, то АВ ВА.
Если АВ=ВА, то такие матрицы называются перестановочными.
Пример.
39

40.

УМНОЖЕНИЕ СТОЛБЦА НА СТРОКУ
7 5
7 2
7
0 2 5 3 0 2
0
5
4
4 2 4 5
14 35 21
0
0
0
8 20 12
7 3
0 3
4 3

41.

При условии, что операции в обеих частях
равенств выполнимы, справедливы
следующие свойства.
Свойства произведения матриц
1. А · О = О;
2. А · Е = А;
3. А · В ≠ В · А;
4. α (АВ) = (αА) · В = А · (αВ);
5. АВС = (АВ) · С = А · (ВС);
6. А (В + С) = АВ + АС;
7. (А · В)Т =ВТ · АТ.

42.

2. Определители

43.

Вильгельм Готфрид
Лейбниц
(1646-1716) — саксонский
философ, логик, математик,
механик, физик, юрист,
историк, дипломат,
изобретатель и языковед.
Понятие «определитель»
принадлежит Г. Лейбницу
(1678).

44.

Определитель (детерминант) –
числовая характеристика квадратной матрицы.
Обозначения определителя матрицы А:
|A|, det A, .

45.

Невырожденная матрица
• Квадратная матрица А называется
невырожденной, если её определитель
det А 0.
• В противном случае (det А = 0) матрица
А называется вырожденной.

46.

Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить
число det A, называемое ее определителем, следующим
образом:
1. n = 1. А = (a1); det A = a1
2. n = 2.
a11
| A |
a21
a12
a11 a22 a12 a21
a22
• Вычисление определителя 2-го порядка
иллюстрируется схемой:
Пример.

47.

3. n = 3.
Для вычислении определителя 3-го порядка используют
правило треугольников (Саррюса).
a11a12 a13
det A a21a22 a23 a11a22 a33 a12 a23a31
a31a32 a33
a13a21a32 a31a22 a13 a32 a23a11 a33a21a12

48.

*
*
*
*
*
*
* *
* *
* *
*
*
*
*
*
*

49.

Пример. Вычислить
определитель третьего порядка
5 2 1
= 3 1 4
6 0 3
=5•1•(-3) +
+(-2)•(-4)•6 +
+ 3•0•1–6•1•1–
–3•(-2)•(-3) –
– 0•(-4)•5 =
–15+48–6–18=
=48–39=9.

50.

Пример. Вычислить определитель с помощью
правила диагоналей
5 2 1
= 3 1 4
6 0 3
- -
-+ + +
=5•1•(-3) +
+(-2)•(-4)•6 +
+ 3•0•1–(6•1•1+
+ 0•(-4)•5+
+3•(-2)•(-3)) =
–15+48–(6+18)=
=33–24=9.

51.

Определитель произвольной
треугольной матрицы равен
произведению элементов главной
диагонали

52.

Минор элемента аi j
• Минором некоторого элемента aij квадратной матрицы
А n-го порядка называется определитель n –1-го
порядка матрицы, полученной из исходной путем
вычеркивания из А строки и столбца, на пересечении
которых находится выбранный элемент aij , минор
обозначается Мij.
3
7
А 0
5
2
3
5
7
5
4
6
9
a23=4
1
2
2
4
3 2 1
M23 0 5 2 60 20 0 250 0 42 13
5 7 4
M31=5
M14=11

53.

Алгебраическое дополнение Aik
• Алгебраическим дополнением элемента aik
квадратной матрицы А называется число Аik :
Для предыдущего примера:
А23= –М23= –13
А31= М31= 5
А14= –М14= –11

54.

ФОРМУЛА ЛАПЛАСА
Теорема. Определитель матрицы равен сумме
произведений элементов любого ее ряда на
соответствующие им алгебраические a11 a12 a13
дополнения.
a21 a22 a23
a
Разложение определителя по 31
a32
a33
элементам первой строки:
det A a 11 A11 a 12 A12 a 13 A13 .
Пьер-Симо́н, маркиз де
Лапла́с (1749 - 1827) —
французский математик,
механик, физик и астроном

55.

2 1 1
4 3
1 1
2 4 3 2
2
17 12
17 12
11 17 12
1 1
11
2( 48 51) 2(12 17) 11(3 4)
4 3
6 10 11 5.
4 1
3 5
2 3
5 0
0 3
4 1
3
2 4
4 1
1 3
2 2 3 1 2 5
5
0 1
3
1
2
3
5 0 5
0 5
2(5 10 5 ( 14)) 2(50 70) 2 120 240

56.

ПРАВИЛО ЧУЖИХ ДОПОЛНЕНИЙ
• Сумма произведений элементов любого
ряда кв. матрицы на алгебраические
дополнения соответствующих элементов
другого ее параллельного ряда равна нулю.

57.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
1. Транспонирование матрицы не меняет значения ее
определителя.
det A det A
T
3 5 6 3 4 5
4 2 1 5 2 3
5 3 2 6 1 2

58.

Свойства определителей
2. При перестановке двух параллельных рядов определитель
меняет знак.
3. Если соответствующие элементы двух параллельных рядов
равны или пропорциональны, то определитель равен 0.
4. Общий множитель элементов какого-либо ряда можно
вынести за знак определителя.
5. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда
прибавить соответствующие элементы параллельного ряда,
умноженные на одно и то же число.
6. Определитель матрицы, содержащей целый ряд из нулей,
равен нулю.
7. det Е 1
8. det( A B ) det A det B

59.

9. Если элементы какой-либо ряда квадратной матрицы
А состоят из двух слагаемых, то определитель А равен
сумме определителей двух матриц, различающихся
между собой только элементами этого ряда, бывшими
ранее отдельными слагаемыми.
а11
а11
а 21
а 21
а31
а31
а12
а 22
а32
а13
а11
а 23 а 21
а33 а31
а12
а 22
а32
а13 а11
а 23 а 21
а33 а31
а12
а 22
а32
а13
а 23 .
а33

60.

«А математику уже затем учить
следует, что она ум в порядок
приводит».
М. В. Ломоносов
Спасибо за внимание!