Системы линейных уравнений (лекция № 2)

1. Лекция №2. Системы линейных уравнений (СЛУ).

План:
1. Системы линейных уравнений. Основные понятия.
2. Формулы Крамера решения СЛУ.
3.Решение СЛУ методом Гаусса.
4.Теорема Кронекера-Капелли.
5.Системы линейных однородных уравнений.

2. 1. Системы линейных уравнений. Основные понятия.

Системой линейных алгебраических уравнений,
содержащей т уравнений и п неизвестных,
называется система вида
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1,
a x a x ... a x b ,
21 1 22 2
2n n
2
....................................................
am1x1 am 2 x2 ... amn xn bm
аij , i 1, m; j 1, n
где числа
называются
коэффициентами системы, числа bi - свободными
членами. Подлежат нахождению числа xn .

3.

Такую систему удобно записывать в компактной
матричной форме A X B .
Здесь А – матрица коэффициентов системы, называемая
основной матрицей:
a11 a12
a21 a22
А
...
...
am1 am3
... a1n
... a2n
... ...
... amn
x1
x
X 2 - вектор-столбец из неизвестных xi ,
...
xn
b1
b
B 2
... - вектор-столбец из свободных членов bi .
bm

4.

Расширенной матрицей системы называется матрица
A системы, дополненная столбцом свободных членов
a11 a12
a22
a
А 21
...
...
am1 am 2
... a1n b1
... a2n b2
... ...
...
... amn bm
Решением
системы называется п значений
неизвестных x1 c1, x2 c2, ... xn cn , при подстановке
которых все уравнения системы обращаются в
верные равенства.
Всякое решение системы можно записать в виде
матрицы-столбца
c1
c2
C
...
cn

5.

Система уравнений называется совместной, если она
имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если
она не имеет ни одного решения.
Совместная система называется определенной, если
она имеет единственное решение, и неопределенной,
если она имеет более одного решения. В последнем
случае каждое ее решение называется частным
решением системы.
Совокупность всех частных решений называется общим
решением.
Решить систему - это значит выяснить, совместна она
или несовместна. Если система совместна, найти ее
общее решение.

6. 2. Формулы Крамера решения СЛУ.

Данный метод применим только в случае систем
линейных уравнений, где число переменных
совпадает с числом уравнений. Кроме того,
необходимо ввести ограничения, чтобы определитель
матрицы системы не равнялся 0, т.е. Δ 0 .

7.

Теорема (Правило Крамера). Система из n уравнений с
n неизвестными
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a x b
21 1 22 2
2n n
2
...............................................
an1x1 an 2 x2 ... ann xn bn
в случае, если определитель матрицы системы не равен
нулю, имеет единственное решение и это решение
Δi
x
находится по формулам: i
, где - определитель
Δ
матрицы, а Δi - определитель матрицы, получаемой из
матрицы системы заменой i–го столбца столбцом
свободных членов bi.

8.

Таким образом, например, для системы уравнений,
состоящей из трех уравнений с тремя неизвестными
имеем,
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2
a x a x a x b
31 1 32 2 33 3 3
a11 a12
А a21 a22
a
31 a32
a13
a23
a33
а11 a12
Δ а21 a22
а31 a32
a13
a23
- главный определитель матрицы.
a33
b1
Δ1 b2
b3
a13
a23
a33
a12
a22
a32
a11 b1
Δ2 a21 b2
a31 b3
Δ1
Δ2
Δ3
Тогда x1 , x2 , x3
Δ
Δ
Δ
a13
a23
a33
a11 a12 b1
Δ3 a21 a22 b2
a31 a32 b3
- формулы Крамера.

9.

Пример Найти решение системы уравнений:
5 x y z 0
x 2 y 3z 14
4 x 3 y 2 z 16
Решение:
5 1 1
Δ 1 2 3 20 12 3 8 45 2 30 0
4 3 2
0 1 1
Δ1 14 2 3 48 42 32 28 30
16 3 2
5 0 1
Δ2 1 14 3 140 16 56 240 60
4 16 2
5 1 0
Δ3 1 2 14 160 56 210 16 90
4 3 16
Тогда
Δ1 30
Δ2 60
Δ3 90
x1
1, x2
2, x3
3 .
Δ 30
Δ 30
Δ 30

10. 3. Решение СЛУ методом Гаусса.

Одним из наиболее универсальных и эффективных
методов решений линейных алгебраических систем
является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.
Пусть дана система уравнений
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1,
a x a x ... a x b ,
21 1 22 2
2n n
2
....................................................
am1x1 am 2 x2 ... amn xn bm
(4.1)
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух
этапов. На первом этапе (прямой ход) система
приводится
к
ступенчатому
(в
частности,
треугольному) виду.

11.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид
a11x1 a12 x2 ... a1k xk ... a1n xn b1,
a22 x2 ... a2k xk ... a2n xn b2 ,
....................................................................
akk xk ... akn xn bm
где k n, aij 0, i 1...k. Коэффициенты aij называются
главными элементами системы.
На втором этапе (обратный ход) идет последовательное
определение неизвестных из этой ступенчатой
системы.
Опишем метод Гаусса подробнее.

12.

Прямой ход.
Будем считать, что элемент a11 0 (если a11 0 , то первым
в системе запишем уравнение, в котором
коэффициент при x1 отличен от нуля).
Преобразуем систему (4.1), исключив неизвестное x1 во
всех уравнениях, кроме первого (используя
элементарные преобразования системы).
Для этого умножим обе части первого уравнения на
и a21 сложим почленно со вторым уравнением
a11
системы.
a31
Затем умножим обе части первого уравнения на
и
a11
сложим с третьим уравнением системы.
Продолжая этот процесс, получим эквивалентную
систему

13.

a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1,
1 x ... a 1 x b 1 ,
a
2
n
2
22
2n
....................................................
a 1 x2 ... a 1 xn b 1
m2
mn
m
Здесь aij 1 , bi 1 i, j 2...m
новые значения
коэффициентов и правых частей, которые получаются
после первого шага.
Аналогичным образом, считая главным элементом
1 0 , исключим неизвестное x2 из всех уравнений
a22
системы, кроме первого и второго, и так далее.
Продолжаем этот процесс, пока это возможно.

14.

Если в процессе приведения системы (4.1) к
ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т.е.
равенства вида 0 = 0, их отбрасывают.
Если же появится уравнение вида 0 bi , а bi 0 , то
это свидетельствует о несовместности системы.
Второй этап (обратный ход) заключается в решении
ступенчатой
системы.
Ступенчатая
система
уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное
множество решений. В последнем уравнении этой
системы выражаем первое неизвестное xk через
остальные неизвестные xk 1,..., xn .

15.

Замечания: 1. Если ступенчатая система
оказывается треугольной, т. е. , то исходная система
имеет единственное решение. Из последнего
уравнения находим , из предпоследнего уравнения
, далее поднимаясь по системе вверх, найдем все
остальные неизвестные .
2. На практике удобнее работать не с системой , а с
расширенной ее матрицей, выполняя все
элементарные преобразования над ее строками.
Удобно, чтобы коэффициент (уравнения
переставить местами, либо разделить обе части
уравнения на ).

16.

17.

18.

19. 4. Теорема Кронекера-Капелли.

20.

21.

22.

23. 5. Системы линейных однородных уравнений.