Системы линейных алгебраических уравнений

1. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

2.

a11 x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1
a x a x a x ... a x b
21 1
22 2
23 3
2n n
2
..........
..........
..........
..........
..........
.....
am1 x1 am 2 x2 am 3 x3 ... amn xn bm

3.

• Здесь
aij
где
i
j
bi
x1 , x2 ,..., xn
- неизвестные;
- коэффициенты при неизвестных,
- номер уравнения,
- номер неизвестного;
- свободные члены (правые части).

4.

• Система наз. неоднородной, если
не все bi равны нулю.
Система наз. однородной, если все
bi равны нулю.

5.

• Матрица системы
a11 a12
a21 a22
A
... ...
am1 am 2
a13
a23
...
am 3
... a1n
... a2 n
... ...
... amn

6. Расширенная матрица

a11 a12
a
a
21
22
A
... ...
am1 am 2
b1
... a2 n b2
... ... ...
... amn bm
... a1n

7.

Решением системы будем называть
упорядоченный набор чисел
x1 , x2 ,..., xn
обращающий каждое уравнение
системы в верное равенство.

8.

Решить систему — значит найти
все ее решения или доказать, что ни
одного решения нет.
Система, имеющая хотя бы одно
решение, называется совместной.
Если система имеет только одно
решение, то она называется
определенной.

9.

Если система не имеет решений, то
она называется несовместной.
Система, имеющая более чем одно
решение, называется неопределенной
(совместной и неопределенной).
Если число уравнений системы
совпадает с числом неизвестных , то
система называется квадратной.

10.

Две системы, множества решений
которых совпадают, называются
эквивалентными или равносильными.
Преобразование, применение которого
превращает систему в новую
систему, эквивалентную исходной,
называется эквивалентным или
равносильным преобразованием.

11. Метод Гаусса

12.

Рассмотрим квадратную систему:
x1 x2 3 x3 2 x4
4 x 6 x x
1
2
3
3 x1 2 x2 2 x3 x4
5 x1 x2 2 x3 x4
11;
1;
3;
2.

13.

1 1 3 2 11
4 6 1 0 1 ~
3 2
2 1 3
1 2
5 1 2

14.

1 1 3 2 11
4 6 1 0 1 ~
3 2
2 1 3
1 2
5 1 2

15.

1 1 3 2 11
6 1 0 1
4
3 2
2 1 3
1 2
5 1 2
(-4) (-3) (-5)
+
+
+
~

16.

1
1
0
10 13
0
5
7
0
4 13
3
11
8 45
7 30
9 53
2
2
+
(-2)
(-5)
+

17.

1
1
0
10 13
3
0
0
1
0
0
39
11
8 45
6 15
29 175
2
~
(-39)
+

18.

1
1
0
10
0
0
0
0
11
13
8 45
1
6
15
0 205 410
3
2

19.

Полученная матрица соответствует системе:
x1 x2 3x3 2 x4 11;
10 x2 13 x3 8 x4 45;
x3 6 x4
15;
205 x4 410 .

20.

x1 11 x2 3x3 2 x4 11 1 3 3 2 2
11 1 9 4 1;
10 x2 45 13 x3 8 x4 45 13 3 8 2
45 39 16 10; х2 1;
x3 15 6 x4 15 6 2 15 12 3;
x4 2.

21.

6 x1 9 x2 3 x3 2 x4 4
2 x1 3 x2 5 x3 4 x4 2
4 x 6 x 4 x 3 x 3
1
2
3
4

22.

6 9 3 2 4
2 3 5 4 2 ~
4 6 4 3 3

23.

(-3)
2
3
5
4
2
+
6 9 3 2 4
4 6 4 3 3
(-2)
+
~

24.

5
4
2
2 3
0 0 12 10 2 ~
0 0 6 5 1

25.

5
4
2
2 3
(-2)
0
0
6
5
1
~
0 0 12 10 2 +

26.

4
2
2 3 5
0 0 6 5 1 ~
0 0 0
0
0

27.

2 3
0 0
5
6
2
5 1
4

28.

• Рассмотрим минор
2 5
0
6
12 0
назовем его базисным. Тогда
x1 , x3 базисные переменные.

29.

2 x1 3x2 5 x3 4 x4 2
6 x3 5 x4 1

30.

5 x4 1
x3
;
6
5
1
x3 x4 ;
6
6

31.

2 x1 2 3 x2 5 x3 4 x4 ;
2 3 x2 5 x3 4 x4
x1
;
2
3
5
x1 1 x2 x3 2 x4
2
2
3
5 5
1
1 x2 x4 2 x4
2
2 6
6
3
25
5
7 3
1
1 x2 x4 2 x4 x2 x4 ;
2
12
12
12 2
12

32.

3
1
7
x1 x2 x4 ;
2
12
12
5
1
x3 x4 ;
6
6

33.

3
1
7
x1 C2 C4 ;
2
12
12
x2 C2 ;
5
1
x3 C4 ;
6
6
x4 C4 .

34. Метод Жордана-Гаусса

35.

a11 x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1
a x a x a x ... a x b
21 1
22 2
23 3
2n n
2
..........
..........
..........
..........
..........
.....
an1 x1 an 2 x2 an 3 x3 ... ann xn bn

36.

a11 a12
a
a
21
22
A
... ...
a
a
n1 n 2
... a1n b1
... a2 n b2
... ... ...
... ann bn

37.

1
0
...
0
b1
1 ... 0 b2
... ... ... ...
0 ... 1 bn
0 ... 0

38.

x1 2 x2 4 x3 31
5 x1 x2 2 x3 29
3 x x x 10
2
3
1

39.

1 2 4 31
5 1 2 29
3 1 1 10

40.

a
b
d
c

41.

a с b d
с
a

42.

столбец
разрешающий
1 2 4 31
5 1 2 29
3 1 1 10
разрешающая
строка
~

43.

1 2 4 31
0 .... .... ....
0 .... .... ....
~

44.

4
31
1 2
0 9 18 126
0 7 11 83
~

45.

4
31
1 2
1
0 9 18 126 ~
9
0 7 11 83

46.

4
31
1 2
2
14
0 1
0 7 11 83
~

47.

1 0 ... ...
~
0
1
2
14
0 0 ... ...

48.

1 0 0 3
0
1
2
14
1
0 0 3 15
3
~

49.

1 0 0 3
0 1 2 14
0 0 1 5
~

50.

1 0 0 ....
0 1 0 .... ~
0 0 1 5

51.

1 0 0 3
4
0
1
0
0 0 1 5

52.

x1 3
x2 4
x 5
3

53.

6 x1 9 x2 3 x3 2 x4 4
2 x1 3 x2 5 x3 4 x4 2
4 x 6 x 4 x 3 x 3
1
2
3
4

54.

6 9 3 2 4
2 3 5 4 2
4 6 4 3 3
~

55.

2 3 5 4 2
6 9 3 2 4
4 6 4 3 3
1
2
~

56.

3
1
2
6
9
4
6
5
2
3
4
2 1
2
4 ~
3
3

57.

3
1
2
0
0
0
0
5
2 1
2
12 10 2 ~
6 5 1

58.

3
1
2
0
0
0
0
2 1
1 ~
5 1 6
12 10 2
5
2
6

59.

3
1
2
0
0
0
0
2 1
5
1
1
6
6
12 10 2
5
2
~

60.

3
1
2
0
0
0
0
1
0
12
5
1
6
0 0
7
12
1
6
0

61.

3
1
7
x
x
x
1 2 2 12 4
12
5
1
x
x
3
4
6
6

62.

3
1
7
x1 x2 x4 ;
2
12
12
5
1
x3 x4 .
6
6

63.

3
1
7
x1 C2 C4 ;
2
12
12
x2 C2 ;
5
1
x3 C4 ;
6
6
x4 C4 .

64. Матричный метод

65.

• С помощью этого метода можно
решать квадратные системы
линейных уравнений

66.

a11 x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1
a x a x a x ... a x b
21 1
22 2
23 3
2n n
2
..........
..........
..........
..........
..........
.....
an1 x1 an 2 x2 an 3 x3 ... ann xn bn

67.

• Систему можно записать в виде
A X B
где
a11
a21
A
...
a n1
(1)
a12 a13 ... a1n
a22 a23 ... a2 n
... ... ... ...
an 2 an 3 ... ann

68.

x1
x2
X
...
xn
b1
b2
B
...
bn

69.

• Если матрица
A
невырожденная, то
можно выполнить преобразования
A A X A B
1
1
X A B
1
(2)

70.

x 2 y z 2
2 x y 3 z 9
5 x 2 y 2 z 3
1 2 1
x
2
A 2 1 3 , X y , B 9
5 2 2
z
3

71.

X A B
1

72.

А
1
А11
1
А12
А
13
А21
А22
А23
А31
А32
А33

73.

1
2
2 1
5
2
1
3 2 4 30 5 6 8 25
2

74.

A11
1
3
2
2
A12
A13
2
3
5 2
2 1
5
2
2 6 4
( 4 15) 19
4 5 9

75.

A21
A22
1
2
1
2 2
1
5 2
A23
1 2
5 2
( 4 2) 2
2 5 3
(2 10) 8

76.

A31
2
1
1
3
A32
A33
1
1 1
3
2
2
2 1
6 1 5
(3 2) 5
1 4 5

77.

4 2 5
1
1
A 19 3 5
25
9 8 5

78.

x
4 2 5 2
1
X y 19 3 5 9
25
z
9 8 5 3
4 2 2 9 5 3
1
19 2 3 9 ( 5) 3
25
9 2 8 9 ( 5) 3

79.

8 18 15
25 1
1
1
38 27 15 50 2
25
25
18 72 15
75 3

80.

x 1
y 2
z 3

81. Метод Крамера

82.

• Если определитель системы n
линейных уравнений с n
неизвестными отличен от нуля, то
эта система является определенной
и её единственное решение
находится по формулам

83.

i
xi
i 1,2,...., n

84.

a11
a12
... a1n
a 21
a 22
... a 2 n
...
...
...
a n1
an 2
... a nn
...

85.

Здесь
i
– определитель,
получающийся из определителя
заменой i-го столбца столбцом
свободных членов.

86.

x1
A11 A21
x2 1 A12 A22
... ... ...
xn
A1n A2 n
... An1 b1
... An 2 b2
... ...
...
... Ann bn

87.

A11 b1 A21 b2 ... An1 bn
x1
b1 a12 ... a1n
b2 a22 ... a2 n
... ... ... ...
b n an 2 ... ann
A11 b1 A21 b2 ... An1 bn

88.

1
x1

89.

x 2 y z 2
2 x y 3 z 9
5 x 2 y 2 z 3

90.

x
x
;
y
y
;
z
z

91.

1
2
2 1
5
2
1
3
2
2 4 30 5 6 8 25

92.

2
2
x 9 1
3
2
1
3
2
4 18 18 3 12 36 25

93.

1 2
y 2 9
1
3
5 3 2
18 30 6 45 9 8 50

94.

1
2
2
z 2 1 9
5
2
3
3 8 90 10 12 18 75

95.

25
x
1;
25
50
y
2;
25
75
z
3.
25

96.

• Если 0 и по крайне мере один из
определителей i 0, то система не
имеет решения.
• Если 0 и i 0 , система либо
не имеет решения, либо имеет
бесконечно много решений.

97.

x y 2z 2
2 x 2 y 4 z 4
3x 3 y 6 z 3

98.

1
1 2
1 1 2
2 2 4 2 1 1 2 0
3 3 6
3 3 6
1 2
2 1 2
2
x 4 2 4 2 2 1 2 0
3 3 6
3 3 2

99.

1 2 2
1 2 2
y 2 4 4 2 1 2 2 0
1
3 3 6
3 3 6
1 2
1 1 2
z 2 2 4 2 1 1 2 0
3 3 3
3 3 3

100.

• Система не имеет решения, т.к.
первое и третье уравнения
противоречивы

101.

2 x 3 y z 3
4 x 6 y 2 z 6
3x y 2 z 1

102.

2
3
1
2
3
1
4
6
2 2 2
3
1 0
3 1
3 1
2
3
3
1
x 6
6
2 0
1 1
2
2

103.

2
3
1
2
3
1
y 4
6
2 2 2
3
1 0
3 1
3 1
2
2
3
3
z 4
6
6 0
3 1 1
2

104.

• Второе уравнение получается
умножением первого на два. Данная система
равносильна системе
2 x 3 y z 3
3
x
y
2
z
1
Система имеет бесчисленное множество
решений.

105.

2
3
3 1
2 9 11

106.

y 3x 2 z 1
2 x 3 3 x 2 z 1 z 3
2x 9x 6z 3 z 3
11x 5 z 0
5
x z
11
15
y z 2z 1
11
7
y 1 z
11

107.

5
x z
11
7
y 1 z
11
z z

108. Т е о р е м а К р о н е к е р а - К а п е л л и

Теорема
Кронекера-Капелли
m
Для того чтобы система
неоднородных линейных уравнений
с
неизвестными была совместной,
необходимо и достаточно, чтобы
n
r A r A

109.

• Замечание. Пусть система совместна и
r A r A k
-
-
k n
если число уравнений равно
числу неизвестных, причем 0 , то
система имеет единственное решение;
k n если число уравнений меньше
числа неизвестных, то система имеет
множество решение.

110.

1 5 4 3 1
*
A 2 1 2 1 0
5 3 8 1 1
(-2) (-5)
~

111.

5
4
3
1
1
(-2)
0
11
6
7
2
~
0 22 12 14 4

112.

4
3
1
1 5
0 11 6 7 2
0 0
0
0
0
r ( A) r ( A ) 2 4
*

113.

1 14
2
x1 x3 x4 ;
11 11
11
2 6
7
x 2 x3 x 4 .
11 11
11

114. Однородные системы

a11x1 a12 x2 ... a1n xn 0,
a x a x ... a x 0,
21 1
22 2
2n n
..........
..........
..........
..........
.....
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn 0.

115. Теорема о совместности однородной системы

Для того чтобы однородная система
линейных уравнений имела решение,
необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы этой системы был меньше числа
неизвестных n.