10 класс

1. Предмет стереометрии

http://linda6035.ucoz.ru/

2. Геометрия (греч.)

наука о свойствах
геометрических фигур
гео –земля
метрео - измерять
http://linda6035.ucoz.ru/

3. Геометрия

Планиметрия
от лат. planum —
плоскость и... метрия
Стереометрия
от др.-греч. στερεός, «стереос» —
«пространственный,объемный»
http://linda6035.ucoz.ru/

4. Геометрия

Планиметрия
http://linda6035.ucoz.ru/
Стереометрия

5.

раздел геометрии, в котором изучаются
свойства тел в пространстве
http://linda6035.ucoz.ru/

6.

Евклид — жил около 300 г. до н. э,
первый математик Александрийской школы.
Его главная работа «Начала» содержит
изложение планиметрии, стереометрии.
Его называют «отцом геометрии».
Дави́д Ги́льберт (1862-1943) —
немецкий математик-универсал,
внёс значительный вклад в развитие многих
областей математики.
Разработал
аксиоматику
евклидовой
геометрии.
http://linda6035.ucoz.ru/

7.

Основные фигуры в пространстве
точка
плоскость
прямая
http://linda6035.ucoz.ru/

8.

A, B, C, …
A
B
a, b, c, …
или
или
http://linda6035.ucoz.ru/
AВ, BС, CD, …
b
C
, , ,...
ABC ,...
C
D

9.

Основные фигуры в пространстве
⍺
М
точка
плоскость
прямая
http://linda6035.ucoz.ru/
а

10. Изображение плоскости

На рисунках плоскости обозначаются в виде
параллелограмма или области.
Плоскость как геометрическую фигуру следует
представлять себе простирающейся неограниченно
во все стороны.
http://linda6035.ucoz.ru/

11. Условные обозначения

принадлежит
не принадлежит
содержится
не содержится
пересекает
не пересекает
http://linda6035.ucoz.ru/
для любого
существует
!существует
единственная
рассмотрим

12. Что такое аксиома?

АКСИОМА (axíõma - греческое слово,
означающее «бесспорное положение») –
это высказывание, истинность которого
принимается без доказательства .
Аксиомы были сформулированы Евклидом
( III в. до н. э.) в его знаменитом сочинении
«Начала».
На основе аксиом доказываются теоремы и
строится вся геометрия
http://linda6035.ucoz.ru/

13.

Аксиомы стереометрии
А1. (о трех точках)
В
А
С
Через
любые
три
точки, не лежащие на
одной прямой, проходит
плоскость, и притом
только одна.
A BC
! : A ; B ; C
http://linda6035.ucoz.ru/

14.

Иллюстрации к аксиоме А1:
стеклянная пластинка плотно ляжет
на три точки А, В и С, не лежащие
на одной прямой.
C
A
http://linda6035.ucoz.ru/
B
Табурет с тремя ножками всегда
идеально встанет на пол и не
будет качаться.

15.

Для видеокамеры, фотосъемки и для других приборов часто
используют штатив – треногу. Три ножки штатива устойчиво
расположатся на любом полу в помещениях, на асфальте или
прямо на газоне на улице, на песке на пляже или в траве в
лесу. Три ножки штатива всегда найдут плоскость.
http://linda6035.ucoz.ru/

16.

Аксиомы стереометрии
А2.(аксиома принадлежности)
Если две точки прямой
лежат в плоскости, то
все
точки
прямой
лежат
в
этой
плоскости
http://linda6035.ucoz.ru/

17.

Аксиомы стереометрии
А2.(аксиома принадлежности)
B
A
a
Если две точки прямой
лежат в плоскости, то
все
точки
прямой
лежат
в
этой
плоскости
А ∈ а, В ∈ а
AB
A ; B
http://linda6035.ucoz.ru/

18.

Свойство, выраженное в аксиоме А2, используется для проверки «ровности» чертежной
линейки. Линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки
ровный, то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неровный,
то в каких-то местах между ним и поверхностью стола образуется просвет.
http://linda6035.ucoz.ru/

19.

Из аксиомы А2 следует, что если прямая не лежит в данной
плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют
только одну общую точку, то
говорят, что они пересекаются.
a
http://linda6035.ucoz.ru/
N
а N

20.

Аксиомы стереометрии
А3. (о пересечении плоскостей)
А
http://linda6035.ucoz.ru/
Если две плоскости
имеют общую точку, то
они имеют общую
прямую, на которой
лежат все общие точки
этих плоскостей.
A ; A
а;
A a

21.

http://linda6035.ucoz.ru/
Наглядной иллюстрацией аксиомы А3
является пересечение двух смежных стен,
стены и потолка классной комнаты.

22.

Способ задания плоскости
А1.
Через любые три точки, не лежащие на
одной прямой, проходит плоскость, и
притом только одна.
C
B
A
B
Взаимное расположение
прямой и плоскости
А2.
Если две точки прямой лежат в плоскости,
то все точки прямой лежат в этой
плоскости.
a
A
a
http://linda6035.ucoz.ru/
Взаимное расположение
плоскостей
А3 .
Если две плоскости имеют общую точку,
то они имеют общую прямую, на которой
лежат все общие точки этих плоскостей.

23. Прочтите чертеж

С
http://linda6035.ucoz.ru/
A
A
C

24.

Прочтите чертеж
b
http://linda6035.ucoz.ru/
B
c
a
b B
a
c

25. Изображение геометрических тел

В
В
С
С
А
Чертеж
D
четырехугольника
http://linda6035.ucoz.ru/
А
D
Чертеж
пирамиды

26.

http://linda6035.ucoz.ru/

27.

№2
D
Назовите плоскости,
в которых лежат прямые
K
P
M
C
A
E
http://linda6035.ucoz.ru/
B
DEC
РЕ
ADB
МК
BCD
DB
ADB
CBD
AB
ABC
DAB
ABC
DEC
EC

28.

Назовите
D
K
точки пересечения
прямой DK с плоскостью
АВС,
DK ∩ ABC = C
P
M
A
E
http://linda6035.ucoz.ru/
B
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
C
СЕ ∩ ADB = E

29.

D
K
P
M
A
E
http://linda6035.ucoz.ru/
B
Назовите точки,
лежащие
в плоскостях
АDB и DBC
в ADB: A, D, B, P, M, E
C в DBC: D, B, C, M, K
Точки, лежащие в ADB
и DBC одновременно:
D, B, M.

30.

D
K
P
Назовите прямые по
которым пересекаются
плоскости
АВС и DCB
ABD и CDA
PDC и ABC
АВС ∩ DCB = BC;
M
C ABD ∩ CDA = AD;
A
E
http://linda6035.ucoz.ru/
B
PDC ∩ ABC = CE.

31.

№2
B1
Q
P
A1
C1
D1
K
а) Назовите точки,
лежащие в плоскости
DCC1
M
R
B
A
http://linda6035.ucoz.ru/
C
D
D, С, С1, D1, K , M , R, DCC1

32.

B1
Q
P
A1
C1
D1
K
а) Назовите точки,
лежащие в плоскости
BQC
M
R
B
A
http://linda6035.ucoz.ru/
C
D
В, С, С1, B1, P, Q, M BQC

33.

Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
K
б) Назовите плоскости, в
которых лежит
прямая АА1
M
R
A
http://linda6035.ucoz.ru/
B
C
D
AA1 AA1B1
AA1 AA1D1

34.

B1
Q
P
A1
C1
в) Назовите точки,
пересечения прямой
МК с плоскостью АВD
D1
M
K
R
MK ABD R
B
A
http://linda6035.ucoz.ru/
C
D
DC ADC1
DC ABD
DC KM R

35.

B1
Q
C1
в) Назовите точки,
пересечения
прямых DK и ВС
с плоскостью А1В1С1
P
A1
D1
K
M
R
B
A
http://linda6035.ucoz.ru/
C
D
DK A1B1C1 D1
BC A1B1C1

36.

B1
Q
P
A1
C1
D1
г) Назовите прямую, по
которой пересекаются
плоскости АА1В1 и АСD
M
K
R
B
A
http://linda6035.ucoz.ru/
C
D
AA1B1 ACD AB

37.

B1
Q
P
A1
C1
D1
г) Назовите прямую, по
которой пересекаются
плоскости PВ1C1 и ABC
M
K
R
B
A
http://linda6035.ucoz.ru/
C
D
PB1C1 ABC BC

38.

B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
д) Назовите точки
пересечения прямых
МК и DC,
В1С1 и ВР
С1М и DC
R
B
A
http://linda6035.ucoz.ru/
C
D
MK DC R
B1C1 BP Q
C1M DC C

39.

Следствия из аксиом
Теорема 1
(о прямой и точке)
Через прямую и не лежащую на ней точку
проходит плоскость, и притом только
одна.
Дано:
⍺
a
М
M a
Доказать:
! : M , a
http://linda6035.ucoz.ru/

40.

Следствия из аксиом
Теорема 1 (о прямой и точке)
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит
плоскость, и притом только одна.
B
a
A
М
1. По аксиоме о трех точках (А1): через точки A, B, М, не лежащие на
одной прямой, проходит единственная плоскость.
2. По аксиоме о принадлежности (А2): т.к. две точки прямой
принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости
http://linda6035.ucoz.ru/

41.

http://linda6035.ucoz.ru/

42.

Следствия из аксиом.
Теорема 2 (о двух пересекающихся прямых)
Через две пересекающиеся прямые
проходит плоскость, и притом только
одна.
Дано:
b
a
⍺
a b
Доказать:
! : a , b
http://linda6035.ucoz.ru/

43.

Следствия из аксиом.
Теорема 2
(о двух пересекающихся прямых)
Через две пересекающиеся прямые проходит
плоскость, и притом только одна.
b M
a
N
1. По теореме 1 существует единственная плоскость, проходящая через
прямую и не лежащую на ней точку.
2. По аксиоме о принадлежности А2 прямая b лежит в плоскости
http://linda6035.ucoz.ru/

44.

Следствия из аксиом.
Теорема 2 (о двух пересекающихся прямых)
Через две пересекающиеся прямые проходит
плоскость, и притом только одна.
A
a
b B
N
1. По аксиоме о трех точках А1 существует единственная плоскость,
проходящая через них.
2. По аксиоме о принадлежности А2 прямые a и b лежат в плоскости
http://linda6035.ucoz.ru/

45.

http://linda6035.ucoz.ru/

46.

Способы задания плоскости.
Единственную плоскость можно
провести через …
1. … три точки,
2. … прямую и
не лежащие на одной не лежащую на ней
прямой.
точку.
Аксиома 1
http://linda6035.ucoz.ru/
Теорема 1
3. … две
пересекающиеся
прямые.
Теорема 2