a0168fdfa956a30731b91185e4a43330

1. Синус и косинус суммы и разности аргументов.

2. Цели

• Изучить формулы синуса и косинуса
суммы и разности аргументов.
• Рассмотреть практическое
применение данных формул.

3.

Найдите значение
sin 75
0
?
Ответить на данный
вопрос помогут
формулы синуса,
косинуса, тангенса
суммы и разности
аргументов

4.

Примем изначально без доказательства
формулы синуса и косинуса суммы
аргументов
sin x y sin x cos y cos x sin y
cos x y cos x cos y sin x sin y
На основании данных
формул будут выведены
практически все остальные
формулы тригонометрии.

5.

Запоминаем
sin x y sin x cos y cos x sin y
Синус суммы двух аргументов
равен произведению синуса
первого аргумента на косинус
второго плюс произведение
косинуса первого аргумента на
синус второго.

6.

Запоминаем
cos x y cos x cos y sin x sin y
Косинус суммы двух аргументов
равен произведению косинусов
этих аргументов минус
произведение синусов этих
аргументов.

7.

Выведем формулу синуса разности двух
аргументов
sin x y sin x ( y)
sin x cos( y ) cos x sin( y )
Учитывая, что sin( у ) sin y
cos( у ) cos y
получим,
sin x cos y cos x sin y

8.

Запоминаем
sin x y sin x cos y cos x sin y
Синус разности двух аргументов
равен произведению синуса
первого аргумента на косинус
второго минус произведение
косинуса первого аргумента на
синус второго.

9.

Аналогично выведем формулу косинуса
разности двух аргументов
cos x y cos x ( y)
cos x cos( y ) sin x sin( y )
cos x cos y sin x sin y

10.

Запоминаем
cos x y cos x cos y sin x sin y
Косинус разности двух аргументов
равен произведению косинусов
этих аргументов плюс
произведение синусов этих
аргументов.

11.

Пример 1
sin 75
0
Вычислить:
sin( 45 30 )
0
0
sin 45 cos 30 cos 45 sin 30
0
0
0
0
2 3
2 1
2 2
2 2
6
2
6 2
4
4
4

12.

Пример 2
Вычислить:
cos 75 cos(45 30 )
0
0
0
cos 45 cos 30 sin 45 sin 30
0
0
0
0
2 3
2 1
2 2
2 2
6
2
6 2
4
4
4

13.

Пример 3
Вычислить:
4
4
sin
cos cos
sin
15
15
15
15
Решение:
Заданное выражение можно «свернуть» в синус
суммы аргументов:
4
4
sin
cos cos
sin
15
15
15
15
3
4
sin
sin
3
2
15 15

14.

Пример 4
Вычислить:
sin 440 cos140 sin 460 cos 760
Решение:
По формулам приведения найдём:
sin 46 sin 90 44 cos 44
0
0
0
0
cos 76 cos 90 14 sin 14
0
0
0
0
Подставим в исходное выражение:
sin 440 cos140 sin 460 cos 760
sin 44 cos 14 cos 44 sin 14
1
0
0
0
sin 44 14 sin 30
2
0
0
0
0

15.

Пример 5
Упростить выражение:
3 cos x sin x
Решение:
В заданном выражении вынесем множитель 2 за
скобки:
3
1
2
cos x sin x
2
2
Вспомним, что
3
1
cos ;
sin
2
6 2
6

16.

3
1
cos x sin x
3 cos x sin x 2
2
2
2 cos cos x sin sin x
6
6
2 cos x
6

17.

Повторим еще раз формулы:
sin x y sin x cos y cos x sin y
sin x y sin x cos y cos x sin y
cos x y cos x cos y sin x sin y
cos x y cos x cos y sin x sin y