Комплексные числа (1)

1. Комплексные числа

2. Содержание

Понятие комплексного числа
Операции над комплексными числами в
алгебраической форме
Тригонометрическая и показательная формы
Возведение комплексных чисел в степень

3. Понятие комплексного числа

Z=a+bi – общая форма комплексного числа
а, b – действительные числа
i – мнимая единица

4. Понятие комплексного числа

а+bi - единое число!

5. Понятие комплексного числа

Джероламо Кардано
(1501-1576)
Поставил вопрос о
существовании комплексных
чисел

6. Понятие комплексного числа

Иоганн Карл
Фридрих Гаусс
(1777-1855)
Ввел понятие
«комплексное число»

7. Понятие комплексного числа

Уильям Роуэн
Гамильтон
(1805-1865)
Предложил стандартную
модель комплексных чисел

8. Понятие комплексного числа

Комплексная плоскость

9. Понятие комплексного числа

Отобразим число Z=4+3i

10. Понятие комплексного числа

Множество действительных чисел R представляет собой
подмножество множества комплексных чисел С
R C

11. Понятие комплексного числа

Три формы комплексного числа:
алгебраическая;
тригонометрическая;
показательная.

12. Операции над комплексными числами

Операции над комплексными числами в алгебраической форме:
сложение;
вычитание;
умножение;
деление.

13. Операции над комплексными числами

Сложение:
Действительные и мнимые числа складываются отдельно

14. Операции над комплексными числами

Вычитание:
Действительные и мнимые числа вычитаются отдельно

15. Операции над комплексными числами

Умножение:
Умножение осуществляется по правилам умножения
многочленов;
Квадрат мнимой единицы равен -1
i 1
2

16. Операции над комплексными числами

Умножение:

17. Операции над комплексными числами

Деление:
Умножение числителя и знаменателя на сопряженное знаменателю
выражение

18. Операции над комплексными числами

Перевод в алгебраическую форму:

19. Тригонометрическая и показательная формы

Любое, кроме нуля, комплексное число Z=a=bi можно записать в
тригонометрической форме:
Z Z Cos iSin

20. Тригонометрическая и показательная формы

Z
– модуль комплексного числа;
Z a 2 b2
– аргумент комплексного числа.
b
arg Z arctg
a

21. Тригонометрическая и показательная формы

Z 4 3i

22. Тригонометрическая и показательная формы

Формулы аргумента:
a > 0 (I и IV четверти)
arg Z arctg
b
a
a < 0, b > 0 (II четверть)
b
arg Z arctg
a
a < 0, b < 0 (III четверть)
b
arg Z arctg
a

23. Тригонометрическая и показательная формы

Комплексное число в показательной форме имеет вид:
Z Ze
i

24. Тригонометрическая и показательная формы

Z 1 3i

25. Тригонометрическая и показательная формы

Умножение комплексных чисел в тригонометрической и
показательной форме:
Модули перемножаем
Аргументы складываем

26. Тригонометрическая и показательная формы

27. Тригонометрическая и показательная формы

Деление в тригонометрической и показательной форме:
Модули делим
Аргументы вычитаем

28. Возведение комплексных чисел в степень

Формула Муавра:
Z Z Cos( n) iSin ( n)
n
n
Z Z e
n
n
i n

29. Возведение комплексных чисел в степень

Абрахам де Муавр
(1667-1754)

30. Возведение комплексных чисел в степень

31. Возведение комплексных чисел в степень

При возведении в степень комплексного числа в алгебраической
форме необходимо помнить, что
i 1,
2
i 3 i ,
i 1
.........
4

32. Возведение в степень комплексного числа

n
Z
n
2 k
2 k
Z Cos
iSin
n
n
n
Z n Ze
2 k
n
k 0,1,..., (n 1).

33. Литература

Акимов В.П. Математика для политологов. 2-е изд., испр. и доп. – М.:
МГИМО, 2011.
Грес П.В. Математика для бакалавров. Универсальный курс для
студентов гуманитарных направлений [Электронный ресурс]:
учебное пособие/ Грес П.В.— Электрон. текстовые данные.— М.:
Логос, 2015.— 288 c.— Режим доступа:
http://www.iprbookshop.ru/70695.html.— ЭБС «IPRbooks»
Ильин В. А. Высшая математика [Текст] : учеб. для вузов: Рек. Мин.
обр. / В. А. Ильин, А. В. Куркина. - 3-е изд., перераб. и доп. - М. :
Проспект, 2015. - 608 с.