§20. Предел числовой последовательности

1.

§15. Предел числовой
последовательности
п.1. Кванторы.
─ квантор существования («существует»)
─ квантор общности («для любого»)

2.

Окрестностью точки называется любой
интервал, содержащий эту точку.
x
- окрестностью точки a называется
интервал (a ; a ).
a
a
a
x

3.

п.2. Основные понятия.
Числовой последовательностью
называется правило, согласно которому
каждому натуральному числу n поставлено в
соответствие действительное число xn.
Обозначение:
{xn }, xn , n N.

4.

Примеры.
1)
2, 4, 6, ?8, …
2)
xn ( 1) 2
n
n
x1 ( 1) 2 2
1
1
x2 ( 1) 2 4
x3 ? 8
2
2

5.

Последовательность {xn } называется
ограниченной, если
M 0 n N : | xn | M
Геометрическая интерпретация
M xn
x3
x1 x2
M
x

6.

Пример.
2
xn 1
n
1
1
2
x4
M 1
1
3
0
x3 x2
x1 1?
x2 ?0
1
x3 ?
3
1
x4 ?
2
1
x1
Самостоятельно: привести еще 2 примера.
x

7.

Последовательность {xn } называется
неограниченной, если
M 0 n N : | xn | M
Пример.
xn n
M 100
M 1000
2
n 11, x11 121
n 32, x32 1024
Самостоятельно: привести еще 2 примера.

8.

Последовательность
постоянной, если
{xn } называется
n N : xn a, a const .
Пример.
xn 2
x1 2,
x2 2,...

9.

Последовательность {xn } называется
возрастающей, если
n N :
n
Пример. xn
,
2
xn xn 1.
[x ] ─ целая часть x.
0,
0,1,1,2,2,3,3,…
0,1,1,?
0,1,?
Самостоятельно: привести еще 2 примера.

10.

Последовательность
убывающей, если
n N :
{xn } называется
xn xn 1.
100
Пример. xn
.
n
Самостоятельно: привести еще 2 примера.
Возрастающие
Убывающие
Монотонные последовательности

11.

Последовательность
{xn } называется
строго возрастающей, если
n N :
Пример.
xn xn 1.
xn n .
2
Последовательность
{xn } называется
строго убывающей, если
n N :
xn xn 1.
Пример. xn n.
Самостоятельно: привести еще по 2 примера.

12.

Строго возрастающие
Строго убывающие
Строго монотонные последовательности
Самостоятельно: привести 2 примера
последовательностей, не являющихся
монотонными.

13.

п.3. Предел числовой последовательности.
n 1
Пример. xn
.
n
x1
x2
0
1
2
x3 x4
2 3
3 4
1
x
1
1
1
x1 1 1, x2 1 , x3 1 , x4 1 ,...
4
2
3
xn 1 ?0
xn 1?

14.

Число a называется пределом
последовательности {xn }, если
для любого действительного числа
можно указать такое натуральное число N0,
что для всех элементов последовательности с
номерами большими, чем N0, будет
выполняться неравенство
xn a .
lim xn a 0 N0 N : n N 0
n
xn a

15.

Примеры.
n 1
lim
1;
n n
n 1
lim 2 n 2.
n

16.

Геометрический смысл предела
последовательности
x1
x2
xN0 2
a
Пример. xn
a
( 1)
n
xN0 1 x N 0 x3
n
2
x1
x3
x15
1
1
9
1 1
200 225
a
x
1
a 0
200
x14 x2
x16
.
0
1
1
256
1
200 196
1 x
4

17.

Последовательность
{xn } называется
бесконечно малой (БМП), если
0 N0 N : n N 0
lim xn 0
xn
n
1
Пример. xn .
n
Самостоятельно: привести еще 2 примера.

18.

Свойства БМП
1. Сумма двух БМП есть БМП.
Доказательство.
{xn } ─ БМП
{ yn } ─ БМП
{xn yn } ─ БМП ?

19.

0
{xn } ─ БМП
2
0
N1 N : n N1
xn
{ yn } ─ БМП
2
0
N 2 N : n N 2
yn
2
2

20.

N0 max{ N1, N 2}
n N 0
xn yn xn yn
2
2
0 N0 N : n N 0 xn yn
{xn yn } ─ БМП

21.

2. БМП ─ ограниченная последовательность.
3. Произведение двух БМП есть БМП.
4. Произведение БМП и ограниченной
последовательности есть БМП.
5. Если {xn } ─ постоянная и БМП, то
n N xn 0.

22.

Последовательность
{xn } называется
бесконечно большой (ББП), если
A 0 N0 N : n N 0
xn A
lim xn lim xn , lim xn
n
n
n
Примеры. xn ln n;
xn n .
Самостоятельно: привести еще 2 примера.

23.

Свойства ББП
1.ББП ─ неограниченная последовательность.
2. Произведение двух ББП есть ББП.
3. Сумма ББП и ограниченной
последовательности есть ББП.
4. ББП не может являться постоянной
последовательностью.

24.

Замечание 1. Сумма двух ББП не обязательно
является ББП.
Пример.
xn n,
yn n.
xn yn 0.

25.

Связь между БМП и ББП
Теорема 1. Если {xn } ─ ББП и n N xn 0,
1
то ─ БМП.
xn
Обратно, если {xn } ─ БМП и n N xn 0,
1
то ─ ББП.
xn
Самостоятельно: проиллюстрировать теорему
на двух примерах.

26.

Замечание 2.
1) Если lim xn a, то говорят, что
n
{xn } сходится к числу a; {xn } ─ сходящаяся.
2) Если lim xn , то говорят, что
n
{xn } сходится к .
3) Если{xn }не имеет предела, то говорят, что
{xn } расходится.
Пример. xn ( 1) : 1, 1, 1, 1, ....
n

27.

п.4. Свойства сходящихся
последовательностей.
1. Для того, чтобы последовательность {xn }
имела своим пределом число a, необходимо и
достаточно, чтобы последовательность {xбыла
n a}
БМП.
lim xn a {xn a} ─ БМП
n
Доказательство самостоятельно.
Самостоятельно: проиллюстрировать теорему
на двух примерах.

28.

2. Сходящаяся последовательность имеет
только один предел.
Доказательство самостоятельно.
3. Сходящаяся последовательность
ограниченна.
Самостоятельно: проиллюстрировать теорему
на двух примерах.
Замечание 3. Обратное не верно.
Пример.
xn ( 1)
n 1
.

29.

4. Алгебраические свойства сходящихся
последовательностей.
lim xn a
n
а)
б)
lim yn b
n
lim ( xn yn ) a b
n
lim ( xn yn ) a b
n

30.

в)
г)
lim ( xn yn ) a b
n
xn a
lim
n yn
b
b 0
Доказать самостоятельно свойство а).
Самостоятельно: проиллюстрировать каждый
пункт на двух примерах.

31.

п.5. Предельный переход в неравенствах.
Теорема 2. Если lim xn a, и, начиная с
n
некоторого номера xn b, то a b.

32.

Следствие.
lim xn a
n
lim yn b
n
xn yn
a b

33.

Теорема 3 (Вейерштрасс).
Монотонная ограниченная
последовательность сходится.
Пример.
1
xn 1
n
xn ─ возрастающая
2 xn 3
n
n
1
lim 1 e
n
n
e 2,71828...