Дифференциальное исчисление функции одной переменной (производная)

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (производная)

2. Производная функции, её геометрический и механический смысл

3.

Пусть функция y = f(x)
определена в некоторой
окрестности точки х. Если
переменная х получит
приращение Δx, то функция у
получит приращение
Δy = f(x + Δx) – f(x).

4.

Определение. Производной
функции y = f(x) в точке х
называется предел отношения
приращения функции Δy к
приращению аргумента Δx,
когда Δx→0, т.е.
y
f ( x x) f ( x)
y lim
lim
x
x 0 x x 0

5.

Для производной функции
y = f(x) в точке х применяют
также обозначения:
dy df (x)
f (x)
dx
dx
Функция, имеющая в данной
точке конечную производную,
называется дифференцируемой
в этой точке.

6. Геометрический смысл производной

Построим график функции
y = f(x) и проведём к нему
касательную через точку
M(x0, f(x0)).

7.

8.

Обозначим через α угол,
образованный этой касательной
c осью Ox, тогда
tg f (x0)

9.

т.е. производная
функции y = f(x)
равна угловому
коэффициенту
касательной к
графику этой
функции в точке с
абсциссой x0.

10.

11.

Уравнение
касательной к
кривой y = f(x) в
точке M(x0, f(x0)) имеет
вид
y f (x0) f (x0)(x x0)

12.

а уравнение
нормали к данной
кривой в точке M(x0,
f(x0)) записывается
1
в
виде
:
y f (x0)
(x x0)
f (x0)
при условии, что

13.

Если f′(x0) = 0, то
уравнение
касательной: y = f(x0),
уравнение
нормали: x = x0.

14. Механический смысл производной

Пусть
материальная
точка движется
прямолинейно по
закону s = s(t). Тогда
v = s′(t), т.е.

15. Основные правила дифференцирования

Основные
правила
дифференцирова
ния
Если функции u и v
дифференцируемы,
то

16.

• 1.
(cu ) cu , c const
• 2.
(u v) u v
• 3.
(u v) u v u v
u
u
v
u
v
• 4.
,
v
0
2
v
v

17.

• 5. Если y = f(u) и u = φ(x) –
дифференцируемы
е функции своих
аргументов, то
сложная функция
y = f(φ(x))
тоже
y x
yu u x
дифференцируема
и
dy dy du
dx du dx

18.

Это правило
легко
распространить
на цепочку из
любого конечного
числа
дифференцируемы
х функций.

19.

• 6. Если для
дифференцируемо
й функции y = f(x)
(f′(x) ≠ 0) существует
1
(
y
)
обратная функция
f ( x)
x = φ(y), то
1
x y
y x
или

20.

• 7. Если функция
задана
параметрически
x x (t ),
уравнениями
y y (t ),
то ее
y
t
y
(t )
производная
y x
y ( x)
вычисляется
по
x
x (t )
t

21. Производные некоторых элементарных функций

22.

y x
2
y ( x x) x
2
2
x 2 x x ( x)
2
2 x x ( x)
2
2

23.

y
2 x x ( x)
y lim
lim
x 0 x
x 0
x
lim (2 x x) 2 x
2
x 0
( x ) 2 x
2

24.

y sin x
y sin( x x) sin x
x x x
x x x
2 sin
cos
2
2
x
x
2 sin cos(x )
2
2

25.

y
(sin x) lim
x 0 x
x
2 sin
x
2
lim
lim cos x
x 0
x 0
x
2
2
1 cos x cos x

26.

y tg x
sin x
(tg x)
cos x
sin x cos x sin x cos x
2
cos x
cos x cos x sin x sin x
2
cos x

27.

cos x sin x
1
2
2
cos x
cos x
2
(tg x)
2
1
2
cos x

28. Производная обратной функции

Пусть требуется
найти
производную
функции у = f(x) при
условии, что
обратная ей

29.

Для решения этой
задачи
дифференцируем
функцию
x = g(y) по
х:
1 g ( y ) y
1
т.к. g (y) 0, то
y
g ( y )

30.

dy
1
dx dx
dy
т.е. производная
обратной функции
обратна по

31.

• Пример. Найти
формулу для
производной
функции arctg x.

32.

Решение. Функция
arctg x является
функцией,
обратной функции
tg x:
y tgx;
x arctgy;

33.

Известно, что
1
y (tgx)
;
2
cos x
По формуле
производной
обратной
1 функции
y
;
получаем:
d (arctgy) / dx
d (arctgy)
1
2
dy
1 / cos x

34.

Т.к.
1
2
2
1
tg
x
1
y
;
2
cos x
то можно
записать
окончательную
формулу для1
производной
(arctgy)
2
1 :y
арктангенса