Skid2eQhNtGqGtc42ynk1ZmWJE2Wk5

1.

Основы пределов в
математическом анализе
Презентация о понятии предела
функции, формулы и свойства

2.

Что такое предел?
• Предел функции описывает поведение
функции, когда аргумент приближается к
некоторому значению. Основное
обозначение: $\lim_{x o a} f(x) = L$.
• (Примечание: Добавить иллюстрацию с
графиком функции, приближающимся к
пределу)

3.

Обозначение предела
• Для последовательностей: $a_n \to L$, если
при $n \to \infty$ значения $a_n$
становятся сколь угодно близкими к $L$.
• Для функций: $\lim_{x \to a} f(x) = L$.
• (Примечание: Добавить схему с
последовательностью точек, сходящейся к
пределу)

4.

Правила вычисления пределов
• Основные правила:
• 1. $\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a}
f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$
• 2. $\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to
a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$
• 3. $\lim_{x \to a} [cf(x)] = c \cdot \lim_{x \to a}
f(x)$
• (Примечание: Добавить график сложения

5.

Односторонние пределы
• Предел может быть односторонним:
• 1. Слева: $\lim_{x \to a^-} f(x)$
• 2. Справа: $\lim_{x \to a^+} f(x)$
• Если оба односторонних предела равны,
существует общий предел.
• (Примечание: Добавить пример графика с
асимптотой)

6.

Несобственные пределы
• Если функция растет неограниченно при $x
\to a$, говорят о несобственном пределе:
• $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$.
• (Примечание: Добавить график функции с
вертикальной асимптотой)

7.

Пример вычисления 1
• Найти предел $\lim_{x \to 2} (x^2 - 4) / (x 2)$:
• 1. Функция неопределена в $x = 2$.
• 2. Упростим: $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$ при
$x \neq 2$.
• 3. Предел: $\lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$.
• (Примечание: Добавить схему упрощения
дробей)

8.

Свойства пределов
• Основные свойства:
• 1. Линейность: $\lim_{x \to a} (af(x) + bg(x)) =
a \lim_{x \to a} f(x) + b \lim_{x \to a} g(x)$
• 2. Ограниченность: если $|f(x)| \leq g(x)$, то
$\lim_{x \to a} |f(x)| \leq \lim_{x \to a} g(x)$.
• (Примечание: Добавить график,
иллюстрирующий линейность)

9.

Пример вычисления 2
• Найти $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$:
• 1. Используем тригонометрические
свойства.
• 2. Ответ: $1$.
• (Примечание: Добавить график синусоиды,
приближающейся к $1$)

10.

Пределы на бесконечности
• Если $x \to \infty$, то предел описывает
поведение функции при больших значениях
$x$. Пример:
• $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$.
• (Примечание: Добавить график гиперболы)

11.

Теорема Больцано-Коши
• Если $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$,
то она достигает своих максимума и
минимума.
• Применение к пределам: если предел
существует, он единственный.
• (Примечание: Добавить график
непрерывной функции)

12.

Асимптоты
• Горизонтальная асимптота: $y = L$, если
$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$.
• Вертикальная асимптота: $x = a$, если
$\lim_{x \to a} f(x) = \infty$.
• (Примечание: Добавить график с
горизонтальной и вертикальной
асимптотами)

13.

Пределы и непрерывность
• Функция $f(x)$ непрерывна в точке $a$,
если $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
• (Примечание: Добавить график
непрерывной и разрывной функции)

14.

Лопиталя правило
• Для предела $\frac{0}{0}$ или
$\frac{\infty}{\infty}$:
• $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}
\frac{f'(x)}{g'(x)}$ (если предел существует).
• (Примечание: Добавить пример
применения правила Лопиталя)

15.

Сходимость
последовательностей
• Последовательность $a_n$ сходится, если
$\forall \epsilon > 0 \ \exists N \forall n > N:
|a_n - L| < \epsilon$.
• Геометрическая интерпретация: точки
приближаются к пределу.
• (Примечание: Добавить
последовательность точек на числовой оси)

16.

Пример задачи
• Найти $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}$:
• 1. При $n \to \infty$, $1/n^2 \to 0$.
• 2. Ответ: $0$.
• (Примечание: Добавить схему дробей,
стремящихся к нулю)

17.

Практическое применение
• Пределы используются в экономике,
физике, биологии для анализа изменения
величин при стремлении к определенному
состоянию.
• (Примечание: Добавить схему реального
применения пределов)

18.

Заключение
• Понятие предела является фундаментом
анализа. Оно важно для определения
производных, интегралов и описания
поведения функций.
• (Примечание: Добавить образ с
символикой математики)

19.

Источники
• 1. "Математический анализ" — Кудрявцев
Л.Д.
• 2. "Основы математического анализа" —
Зорич В.А.
• 3. "Calculus" — Spivak M.
• 4. Сборник задач по математическому
анализу, авторы: Демидович Б.П., Писарев
И.В.
• 5. Онлайн-курс: "Математический анализ
для начинающих" на Coursera.