Производная

1.

Математика
Преподаватели:
Кормилицына Елена Анатольевна,
Федотова Екатерина Алексеевна

2.

Тема 2.
Производная
функции

3.

План лекции
Введение.
1. Приращение аргумента и
функции.
2. Непрерывность функции.
3. Понятие производной функции
4. Геометрический смысл
производной.
5. Физический смысл производной.

4.

Введение
Изучая поведение функции
f (x ) в окрестности некоторой
точки
, важно знать, как
0
меняется значение функции при
изменении значения аргумента.
Для этого введём понятие
приращения аргумента и
приращения функции.
x

5.

1. Приращение аргумента и
функции.
Опр. Окрестностью точки
0
называется интервал
x
( x0 r; x0 r ),
где число r будем называть
радиусом окрестности.

6.

Рассмотрим небольшой пример.
Пусть дан интервал (5,9 ; 6,1) он
будет являться окрестностью
точки 6, следовательно радиус
r = 0,1.

7.

Пусть дана функция f (x ).
Рассмотрим два значения её
аргумента : исходное x0 и
новое .
Так же заметим, что точка
лежит в окрестности точки x0 .
x
x

8.

Опр. Разность x x
0
называется приращением
аргумента(при переходе от
точки x0 к точке x ) и
обозначается x (дельта икс),
то есть
x x x0 .

9.

Аналогично, разность
f ( x) f ( x0 )
называется приращением
функции и обозначается f
(дельта эф), то есть
f f ( x) f ( x0 ).

10.

Выразим приращение x0 .
функции через точку
Итак, если x x x0
следовательно x x0 x,
отсюда
f f ( x0 x) f ( x0 ).

11.

2. Непрерывность функции
Опр. Функция f (x )
называется непрерывной в
точке x0 ,если выполняется
условие
lim f ( x) f ( x0 )
x x0

12.

При этом предполагалось, что
функция f (x ) определена в
точке x0 и в некоторой её
окрестности.
Дадим определение
непрерывности функции,
пользуясь понятиями
приращения функции и
аргумента.

13.

Действительно, определение
выше равносильно равенству
lim f ( x) f ( x0 ) 0
x x0
Полагая f f ( x) f ( x0 ),
x x x0 и замечая, что при
x x0 x 0.

14.

Т.о., функция непрерывна,
если выполняется условие
lim f 0,
x 0
то есть бесконечно малому
приращению аргумента
соответствует бесконечно
малое приращение функции.

15.

3. Понятие производной
функции
Опр. Пусть функция f (x )
определена в точке x0 и в её
окрестности. Дадим аргументу
приращение x в точке
0
такое, чтобы остаться в
окрестности точки
,
0
x
x

16.

то есть величина x x
0
так же лежит в окрестности
точки 0 Если существует
предел отношения
приращения функции f
к приращению аргумента
при условии x 0,
x.
x,

17.

то он называется производной
функции f (x ) в точке
0
и обозначается
0
Таким образом по
определению имеем
f ( x0 x) f ( x0 )
f
lim
lim
f ( x0 )
x 0 x
x 0
x
x
f ( x ).

18.

В этом случае функцию
называют f (x )
дифференцируемой(гладкой) в
точке x0 ,а сам процесс
нахождения производной
называют
дифференцированием.

19.

4. Геометрический смысл
производной
Опр. Прямую AB,
проведенную через две точки
графика функции f (x )
называют секущей.

20.

Опр. Касательной к графику
функции в точке A
называется предельное
положение секущей AB, когда
точка B перемещаясь по
кривой, неограниченно
приближается к точке A.

21.

Формулировка. Если к графику
функции f (x ) в точке
0
провести касательную, то
f ( x0 ) выражает угловой
коэффициент – k(тангенс угла
наклона касательной к графику
функции). То есть
k tg f ( x0 ).
x

22.

5. Физический смысл
производной
Формулировка. Предел средней
скорости при t 0
будет выражать мгновенную
скорость v (t ) , а мгновенная
скорость есть производная
пути по времени. То есть

23.

v(t ) lim vср s (t0 )
t 0

24.

СПАСИБО ЗА
ВНИМАНИЕ!