Испытания Бернулли. Вероятности событий в серии испытаний

1.

Испытания Бернулли.
Вероятности событий в
серии испытаний
Бернулли

2.

Произведение всех натуральных чисел
от 1 до n называется факториалом.

3.

Таблица факториалов
0! 1! 2! 3! 4! 5! 6!
7!
8!
9!
10!
1 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800

4.

Пример:
Проводя испытания, имеем результат У — успех или Н —
неуспех.
Проведя три испытания, мы можем получить одно
элементарное событие из восьми возможных:
УУУ, ННН, УУН, ННУ, УНН, НУУ, УНУ, НУН.
Так как испытания Бернулли независимы, то вероятность
каждого события находится правилом умножения
вероятностей.

5.

Элеме
нтарн
УУУ ННН УУН ННУ УНН НУУ УНУ НУН
ое соб
ытие
Вероя
тность
p3
q3 p2q pq2 pq2 p2q pq2 pq2
Такую таблицу можно составить для серии четырёх,
пяти, шести и более испытаний Бернулли.

6.

Элементарным событием в серии испытаний Бернулли
является последовательность успехов и неудач, а не
отдельный успех или неуспех. В серии из n испытаний
Бернулли всего 2n различных элементарных событий.
В серии n испытаний Бернулли вероятность
элементарного события, в котором определённым
образом чередуются k успехов и n−k неудач,
равна pkqn−k.
Число элементарных событий,
благоприятствующих k успехам в серии из n испытаний,
равно Ckn.

7.

Конкретное элементарное событие с k успехами
и n−k неудачами имеет вероятность pkqn−k.
Количество элементарных событий с k успехами находим
по формуле Ckn.
Вероятность наступления ровно k успехов при
проведении серии из n одинаковых и независимых
испытаний Бернулли с вероятностью успеха p и
вероятностью неуспеха q=1−p равна Cknpkqn−k.

8.

Пример

9.

Задание 1
Напиши, какое количество элементарных событий
при 7 серий испытаний по Бернулли.

10.

Задание 2
Отметь формулу вероятности
события «наступило 5 успехов в серии
из 12 испытаний Бернулли».

11.

Задание 3
В среднем, из ста интерактивных
игрушек оказываются бракованными 9. Найди
вероятность, что в упаковке из 2 интерактивных
игрушек ровно две будут бракованные.

12.

Задание 4
Какое количество элементарных событий в
серии из 8 испытаний Бернулли
благоприятствует 4 успехам?

13.

Задание 5
В вагоне-ресторане поезда на ужин предлагается
курица с гречкой или лазанья. Каждый пассажир
делает свой выбор. Сколько в данном выборе
комбинаций, если 15 пассажиров выбирают
лазанью, а всего пассажиров 27?

14.

Задание 6
Найди вероятность того, что четвёрка выпадет
ровно четыре раза, если игральную кость
бросают 5 раз.
(Ответ округли до десятитысячных.)

15.

Задание 7
Соотнеси элементарные события с их вероятностью.
Испытание Бернулли, которое завершится успехом,
будем обозначать буквой p.
Испытание Бернулли, которое завершится неуспехом,
будем обозначать буквой q.
Элементарное событие
ННН
УНУ
УУУН
Вероятность

16.

Домашнее задание
Задание № 1
Определи количество элементарных событий
при 6 серий испытаний по Бернулли.

17.

Домашнее задание
Задание № 2
Выбери формулу вероятности
события «наступило 4 успеха в серии
из 10 испытаний Бернулли».

18.

Домашнее задание
Задание № 3
В среднем, из ста интерактивных
игрушек оказываются бракованными 4. Найди
вероятность, что в упаковке из 2 интерактивных
игрушек ровно две будут бракованные.

19.

Домашнее задание
Задание № 4
Сколько элементарных событий в серии
из 13 испытаний Бернулли
благоприятствует 3 успехам?