Решении планиметрических задач (метод площадей)

1. РЕШЕНИИ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (метод площадей)

2.

Свойства площадей:
1.Площадь фигуры является
неотрицательным числом.
2.Площади равных фигур равны.
3.Если фигура разделена на части,
то площадь всей фигуры равна
сумме площадей образовавшихся
частей.

3.

В
S АВСКР 78 см
А
С
Р
К
Ответ: 22
S АВР 24см
2
S ВКС 32см
2
S ВРК ? см
2
2

4.

Фигуры, имеющие равные площади,
называются равновеликими.
В1
А
В2
В
В3
С

5.

Равные фигуры всегда равновелики, но
равновеликие фигуры могут быть
неравными.

6.

При решении задач методом площадей
следует так же помнить, что:
1. Если отрезок, соединяющий вершину
треугольника с точкой противоположной
стороны, делит треугольник на два
равновеликих треугольника, то он является
медианой.
В
А
К
С

7.

S АВС 38см
S АВК 26см
2
2
S АВК ? см
2
S ВКС ? см
S ВКС ? см
2
S АВС ? см .
2
В
А
2
К
С

8.

При решении задач методом площадей
следует так же помнить, что:
2. Медианы треугольника делят его на шесть
равновеликих треугольников.
В
М
N
O
А
К
С

9.

S BON 23см
S АВC ? см
S ВОС 18см
2
2
S АВС ? см
2
S ВAM ? см
S ВКС ? см
2
2
В
М
N
O
А
К
С
2

10.

При решении задач методом площадей
следует так же помнить, что:
3. Диагонали трапеции делят ее на четыре
треугольника. Треугольники, прилежащие к
боковым сторонам, равновелики.
В
С
O
А
D

11.

В
С
O
А
D
S ABCD 49см
S АВC 21см
S COD ?
2
2
S ВOC 9см
S AOD ?
2

12.

В задачах иногда полезно отношение отрезков,
расположенных на одной прямой, заменить на
отношение площадей, имеющих общую вершину,
основаниями которых являются данные отрезки.
Е
А
В
АВ S ABE
СD S CDE
С
D

13.

S ABE 28дм
Е
А
В
2
AB 7дм,
CD 12дм,
С
D
S ECD ? дм .
2
АВ S ABE
CD S ABE
, S CDE
,
СD S CDE
AB
S CDE 48 .

14.

АО S1
ОС S 2
В
А
S1
S2
О
S4
D
С
S3
S1 S 4
S 2 S3
АО S 4
ОС S 3
S1 S 3 S 2 S 4

15.

Задача.
Каждая сторона треугольника АВС продолжена
на свою длину так, что точка В- середина АВ1,
С- середина ВС1, А- середина СА1. Площадь
треугольника АВС равна S. Найдите площадь
треугольника А1В1С1.
B
A
C
Дано:
АВС- треугольник
АВ=ВВ1, ВС=СС1,
СА=АА1,
SABC=S
Найти: SA1B1C1

16.

B1
B
A1
A
C
C1
Выполним дополнительное построение.
Соединим точки А, В и С с вершинами
полученного треугольника А1, В1 и С1.

17.

B1
B
S
S
A1
A
C
C1
1. АВ=ВВ1, следовательно СВ- медиана в
треугольнике АВ1С.
SABC=SBCB1=S
2. По аналогии, рассматривая другие
треугольники, получим, что площадь
треугольника А1В1С1 будет равна 7S.

18.

Задача.
Докажите,
что
если
площади
двух
треугольников, прилежащих к основаниям
трапеции и образуемых пересечением ее
2
2
p
q
диагоналей, равны соответственно
и
,
то площадь всей трапеции равна
p q
2

19.

Дано:
АВСD- трапеция,
DB пересекает АС в
точке О,
SBOC=p2, SAOD=q2
Доказать:
SABCD=(p+q)2
С
В
p2
O
q2
D
А
АО
x AO q
2,
,
ОС p OC
x
2
x p q , S ABCD p q .
2
2
2
2

20.

Задача.
Вершина
С параллелограмма АВСD
соединена с точкой K на стороне AD.
Отрезок СК пересекает диагональ BD в
точке N. Площадь треугольника CDN равна
12, а площадь треугольника DKN равна 9.
Найдите площадь параллелограмма ABCD.

21.

А
K
9
В
12
N
12
D
x
С
Дано:
АВСD- параллелограмм,
СК пересекает DB в
точке N,
SDNC=12, SDKN=9.
Найти: SABCD
1. Выполним дополнительное построение КВ.
DKBC- трапеция, следовательно,
SKNB=SDNC=12.
2. SNBC=x, 9x=144, x=16.
3. SDBC=28, SABCD=56.

22.

Площади двух треугольников, имеющих по
равному углу, относятся, как произведения
сторон, заключающих эти углы.
В
Q
С
А
Р
S ABC AB AC
S PQR PQ PR
R

23.

Задача.
На сторонах AB, BC и СА треугольника
АВС взяты точки К, M и Р так, что
АК:КВ=1:2, ВМ:МС=2:3, СР:РА=3:4.
Площадь треугольника АВС равна 1.
Найдите площадь треугольника КMР.

24.

2
В
2
С
K
Р
1
А
Дано:
АВС- треугольник.
M3
4
Найти SKMP
3
AK 1 BM 2
,
,
KB 2 MC 3
CP 3
, S ABC 1.
PA 4

25.

S AKP AK AP 1 4 4
1.
,
S ABC AB AC 7 3 21
S KBM KB BM 2 2 4
2.
,
S ABC
BA BC 3 5 15
S PCM PC CM 3 3 9
3.
.
S ABC
CB CA 5 7 35

26.

4.S ABC 1,
4
4
9
S AKP , S KBM , S PMC .
21
15
35
4 4 9 2
5.1 .
21 15 35 7
2
Ответ:
7

27.

Домашняя работа
На сторонах KC, CBи BK
треугольника KCB взяты точки
M, O и D так, что KM:MC=2:3,
CO:OB=2:4, BD:DK=3:1.
Площадь треугольника АВС
равна 2. Найдите площадь
треугольника MOD.