Тема 3 Преобразование случайных величин
Метод обратного преобразования (обратной функции)
Использование функции плотности вероятности
Дискретная случайная величина
Метод отбора-отказа (метод Неймана, 1951)
Метод ступенчатой аппроксимации
Пример: Пусть задана функция плотности распределения непрерывной случайной величины f(х)=sin(x), на интервале [0, 90]. Составить алгоритм модел
Упрощенный метод ступенчатой аппроксимации
Метод суперпозиции
Метод сверток
Табличный метод
Метод композиций
Моделирование событий
Моделирование событий
Моделирование событий
Моделирование случайных векторов
Моделирование случайных векторов
Моделирование закона распределения Пуассона
358.00K

3 Преобразование случайных величин

1. Тема 3 Преобразование случайных величин

«Всякий, кто питает слабость к арифметическим методам
получения случайных чисел, грешен вне всяких сомнений»
Джон фон Нейман

2.

Процесс нахождения значения
случайной величины путем
преобразования стандартной случайной
величины (БСВ) называют
разыгрыванием или моделированием
случайной величины .
2

3. Метод обратного преобразования (обратной функции)

Пусть необходимо получать значения случайной
величины , являющейся непрерывной и имеющей
функцию распределения 0<F(x)<1 непрерывную и
строго возрастающую.
F-1 – обратная функция F.
Алгоритм генерирования СВ с функцией распределения F:
1) генерируем ;
2) возвращаем = F-1( ).
3

4. Использование функции плотности вероятности

• нужно получать значения случайной величины ,
распределенной в интервале (a, b) с плотностью
f(х)>0.
Достоинство:
• точность метода.
f ( x)dx
a
Недостатки:
• ограничение на вид функции распределения или
функции плотности;
• затраты машинного времени.
4

5. Дискретная случайная величина

5

6. Метод отбора-отказа (метод Неймана, 1951)

Разыгрывать можно следующим способом:
1) H(t1,t2) с координатами: t1 = a+ 1(b-a); t2 = 2M0;
2) если H(t1,t2) лежит под кривой f(x), то полагаем =t1, иначе – пару
( 1, 2) отбрасываем и выбираем новую пару значений БСВ.
6

7. Метод ступенчатой аппроксимации

a1
a0
a2
f ( x )dx f ( x )dx ...
a1
an
f ( x )dx
an 1
вероятность попадания х в один из
интервалов f(x) [a0, a1], [a1, a2], …,
[an-1, an] равна 1/n.
Тогда = ai + c; где ai – левая
граница интервала;
с – равномерно распределенная
случайная величина на интервале
[0, ai+1 – ai].
f(x)
Алгоритм моделирования:
1) 1 и 2;
2) i=[n 1];
3) сi = 2 (ai+1 – ai);
4) = ai + c.
7

8. Пример: Пусть задана функция плотности распределения непрерывной случайной величины f(х)=sin(x), на интервале [0, 90]. Составить алгоритм модел

Пример: Пусть задана функция плотности распределения непрерывной
случайной величины f(х)=sin(x), на интервале [0, 90 ]. Составить алгоритм
моделирования случайной величины методом ступенчатой аппроксимации
для трех интервалов разбиения.
Так как 3 интервала разбиения, то вероятность равна 1/3.
а0=0; а3=90 ; а1 находим из выражения
a1
1
1
a
a sin xdx 3 ; cos x 0 cosa1 1 3
1
0
отсюда a1=arcos2/3= 0 .
а2 находим аналогично
a2
1
2 1
a
sin
xdx
;
cos
x
cos
a
cos
a
cos
a
а
2
1
2
a
3
3 3
2
1
1
a2=arcos 1/3 = 70 .
Далее применяем алгоритм моделирования.
8

9. Упрощенный метод ступенчатой аппроксимации

Дискретизируем
непрерывный закон
распределения
вероятности события.
0
0
р1
р1+р2
р1+р2+р3
… р1+…+рn-1
1
Недостаток упрощенного метода: огрубление постановки задачи.
9

10. Метод суперпозиции

Функция распределения F может быть выражена как комбинация
других функций F1, F2,…
F ( x) pi Fi ( x),
i 1
p
i 1
i
1
, и соответственно
f ( x) pi f i ( x)
i 1
Общий алгоритм метода суперпозиции примет следующий вид:
1) генерируем положительное целое число i=1, 2, …
2) возвращаем с функцией распределения
Fi (x) .
Шаг 1 можно рассматривать как выбор функции распределения Fi с
вероятностью pi.
10

11. Метод сверток

Пример: нормальное (Гауссово) распределение
Центральная предельная теорема
Пусть СВ x подчинены одному и тому же закону распределения, с
одним и тем же математическим ожиданием Mx и дисперсией Dx=σx2.
Тогда сумма n этих СВ будет подчинена нормальному закону
распределения с математическим ожиданием M=n∙Mx и дисперсией
D=n∙σx2.
Пусть надо получить нормально распределенный ряд чисел X с заданным
математическим ожиданием Mx и стандартным отклонением σx:
x
n
X Mx
i n / 2
n / 12 i 1
при n=12
12
X M x x i 6
i 1
11

12. Табличный метод

Таблица: функция распределения F(х) и соответствующее ему
значение x случайной величины.
Значение случайного числа, находящегося между узлами табуляции,
обычно рассчитывается методом линейной интерполяции.
Представленные в таблице значения соответствуют экспоненциальному
распределению с математическим ожиданием, равным единице.
12

13. Метод композиций

• Метод композиций основан на функциональных особенностях
вероятностных распределений, таких как распределение Эрланга,
гипоэкспоненциальное и гиперэкспоненциальное распределения.
• Метод используется, как правило, в тех случаях, когда не удаётся
получить аналитическим методом решение в явном виде.
• Например, значения случайных величин, распределённых по закону
Эрланга и гипоэкспоненциальному закону могут быть получены путём
сложения нескольких экспоненциально распределённых случайных
величин, а значения случайных величин, распределённых по
гиперэкспоненциальному закону – путём вероятностного формирования
смеси из нескольких экспоненциально распределённых случайных
величин с разными математическими ожиданиями.
13

14. Моделирование событий

Моделирования события А с вероятностью Р(А):
P(A).
Моделирование полной группы случайных событий
Пусть независимые события А и В могут появляться одновременно и
имеют вероятности Р(А) и Р(В) соответственно. Возможные исходы:
АВ, AB, AB, A B
(*)
Моделирование таких испытаний может быть осуществлено 2 способами.
1. 1 и 2 и проверка: 1 P(A) и 2 Р(В).
2. Моделированию события с четырьмя возможными исходами с
вероятностями (*). Интервал [0,1] разбивается на четыре части в
соответствии с выписанными вероятностями, генерируется одна случайная
величина и проверяется, в какой из полученных интервалов она попадет.
14

15. Моделирование событий

Моделирование появления зависимых событий
Пусть заданы вероятности Р(А) и Р(В) зависимых событий А и В и
условная вероятность Р(В|А). Возможны два подхода:
1. Генерируется СВ 1 и проверяется выполнение неравенства 1<=P(A).
Вырабатывается СВ 2 и проверяется неравенство 2<=P(В|А). Проверка
этих неравенств дает нам исходы АВ и А В .
Если оказалось что 1>P(A), то событие А не произошло и для
моделирования события В нам нужна условная вероятность P(B| А ).
Формула полной вероятности (Формула Бейеса):
15

16. Моделирование событий

2. Генерируется одна случайная величина и проверяется, в какой из
интервалов она попадает. Интервалы определяются в соответствии с
вероятностями:
16

17. Моделирование случайных векторов

1. Независимые координаты вектора
х1, х2, … хn; f(x1, x2,…xn); f(x1, x2,…xn) = f1(x1) f2(x2)… fn(хn)
Значение каждой координаты с плотностью распределения fi(хi)
определяется независимо друг от друга по любой из методик
моделирования значений СВ.
2. Зависимые координаты вектора
Тогда f(x1, x2,…xn) = f1(x1) f2(x2|x1) f3(x3|x1x2)…, где fi есть условная
плотность распределения данной случайной величины xi при условии,
что другие случайные координаты приняли определенные значения.
Алгоритм моделирования значения случайного вектора с зависимыми
координатами предусматривает: получение значения x1, полученное
значение берется в качестве параметра в условной плотности f2(x2|x1),
после чего определяется значение случайной координаты x2 и
полученные значения х1 и х2 берутся в качестве параметров в условной
плотности f3(x3|x1x2) и т.д.
17

18. Моделирование случайных векторов

Пример: пусть случайный вектор W имеет две координаты х1 и х2,
являющиеся СВ: f1(x1) = 2x1; 0<x1<1. Определить алгоритм моделирования.
Координата х2 распределена равномерно на участке длиной 2 с центром
в точке х1, т.е.
0, если x2 x1 1 или x2 x1 1;
f 2 ( x2 | x1 )
1 / 2, если или x1 1 x2 x1 1.
Решение:
x1
2 x dx
1
1
x1 , 0 x1 1; x1 1 ; x1 1 .
2
2
0
x2
1 / 2dx
2
1 / 2( x2 x1 1) 1 / 2( x2 1 1) 2
x1 1
x2 2 2 1 1 при x1 1 x2 x1 1.
18

19. Моделирование закона распределения Пуассона

• Закон Пуассона описывает число событий, происходящих за
одинаковые промежутки времени, при условии независимости
этих событий.
• Для генерирования чисел, соответствующих закону
распределения Пуассона, вычисляется
F(x) для х=0, 1, 2, …N, где N достаточно велико.
x
F ( x)
i 0
i e
i!
, 0
– среднее (мат.ожидание)
• Положим = х, если F(x) F(x+1), где – равномерно
распределенная СВ.
19
English     Русский Правила