Фермы. Лекция

1. Лекция 5 ФЕРМЫ

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Ферма – это геометрически неизменяемая система,
состоящая из прямолинейных стержней,
соединённых шарнирами (цилиндрическими
в плоской системе, шаровыми – в пространственной)
по концам, нагруженная сосредоточенными силами
в узлах.
Происхождение фермы как конструктивной формы
а
а
с
т
я
и
е
ж
е
н
Сжат.
Сжат.
Р
т
и
Сжат.
ж
Сжат.
С
Сжат.
s
е

10.

Панель
верхнего пояса
d – длина панели
В е р х н и й
п о я с
Пояса фермы –
совокупность стержней,
образующих её внешний
контур
Раскосы –
Раскосы
наклонные
+
стержни между
стойки
поясами
h – высота
фермы
решётка
фермы
Стойки –
Н и ж н и й п о я с
вертикальные
l – длина пролёта
стержни между
поясами
пролёт фермы
Классификация ферм
По расположению элементов в пространстве плоские
пространственные
По очертанию поясов
По способу опирания
По назначению
- безраспорные (балочные)
однопролётные
треугольная
треугольная
раскосная
треугольная
с дополнительными стойками
- стропильные
- мостовые
- крановые
- башенные
полигонального очертания
полураскосная
трапецеидальная
серповидная
двухи многораскосные
шпренгельные
сложные
решётки
с параллельными поясами
простые
решётки
По типу решётки
консольные
многопролётные
- распорные

11.

При проектировании и эксплуатации фермы
соблюдаются следующие условия:
1. все стержни прямолинейны;
2. вес стержней пренебрежимо мал по
сравнению с эксплуатационной нагрузкой;
3. нагрузка прикладывается только к узлам
фермы.

12.

При
соблюдении
указанных
условий
усилиями, возникающими
при
изгибе
стержней, можно пренебречь по сравнению с
усилиями, возникающими при растяжении –
сжатии.
В реальной ферме крепления стержней в
узлах жёсткие. В расчётной схеме крепления
стержней считают шарнирными, что связано с
реализацией
принятого
упрощающего
предположения о возможности пренебречь
усилиями, возникающими при изгибе.

13.

При
соблюдении
оговорённых
упрощающих условий каждый стержень
фермы оказывается нагруженным силами,
приложенными на концах стержня.
Силы, приложенные
в одной точке можно
заменить
равнодействующей.

14.

Передача нагрузки на ферму
осуществляется через узлы, в
стержнях фермы возникают только
продольные внутренние усилия,
постоянные по длине стержня.

15.

Усилие
в
стержне
считается
положительным, если он растянут
и отрицательным, если стержень сжат
В результате расчёта
фермы
необходимо
определить
реакции
опор и найти усилия во
всех стержнях фермы.
или

16.

Количественный кинематический
анализ плоских ферм сводится к
выполнению условия
W=2Y – (С+С0) ≤ 0.
Здесь Y – количество узлов,
С – количество стержней системы,
С0 – количество опорных связей.

17.

Если W=0, то ферма является
статически определимой системой.
Условие W=0 является необходимым, но
не достаточным условием того, что ферма
является ГНС. Необходимо провести
структурный анализ

18.

Кинематический
анализ ферм
2. Структурный анализ:
основной способ синтеза ферм –
последовательное образование
шарнирных
треугольников
в плоских фермах
шарнирных
четырёхгранных
пирамид
в пространственных
фермах

19.

1
0
2
13
3
12
4
5
6
7
11
10
9
8
W=2Y – (С+С0) ≤ 0
W=2·13-(23+3)=0

20.

структурный анализ
1
0
2
13
3
12
4
5
6
7
11
10
9
8

21.

1
0
2
13
3
12
4
5
6
7
11
10
9
8

22.

1
0
2
13
3
12
4
5
6
7
11
10
9
8

23.

1
0
2
13
3
12
4
5
6
7
11
10
9
8

24.

1
0
2
13
3
12
4
5
6
7
11
10
9
8

25.

1
0
2
13
3
12
4
5
6
7
11
10
9
8

26. Кинематический анализ

1
0
2
13
3
12
4
5
6
7
11
10
9
8

27.

1
0
2
13
3
12
4
5
6
7
11
10
9
8

28.

1
0
2
13
3
12
4
5
6
7
11
10
9
8

29.

1
0
2
13
3
12
4
5
6
7
11
10
9
8

30.

1
0
2
13
3
12
4
5
6
7
11
10
9
8
Вывод:
Ферма является статически определимой,
геометрически неизменяемой системой.
Ферма принимается к расчёту.

31.

Определение опорных реакций

32.

Методы определения усилий
(продольных сил) в стержнях ферм
- сечений;
- вырезания узлов;
- моментной точки (Риттера);
- проекций;

33.

Метод сечения:
Если при действии внешних сил тело
находится в состоянии равновесия, то
любая отсеченная часть тела вместе с
приходящимися на нее внешними
и внутренними усилиями также будет
находится в равновесии, следовательно, к
ней применимы уравнения равновесия.

34.

Метод вырезания узлов. Поиск
стержней с нулевыми усилиями
Двухстержневой незагруженный узел
N1
N2
Лемма 1.
Усилия N1 и N2 в стержнях
незагруженного двухстержневого
узла равны нулю.

35.

y1
N1
β
N2
По методу вырезания узлов:
Fy1 0, N2 cos 0, cos 0 N2 0

36.

N1
y2
N2
Fy2 0, N1 cos 0, cos 0 N1 0

37.

Двухстержневой загруженный узел
Лемма 2
Для загруженного двухстержневого узла, у
которого линия действия внешнего усилия F и
внутреннего усилия N1 совпадают, усилие во
втором стержне N2 равно нулю.

38.

трёхстержневой незагруженный узел
N2
N1
N3 =0
N1=N2
Лемма 3.
Усилие
N3
в
одиночном
стержне
незагруженного трёхстержневого узла в случае,
когда линии действия усилий N1 и N2
совпадают, равно нулю.

39.

трёхстержневой узел, загруженный
направлению одиночного стержня
по

40.

четырёхстержневой Х – образный узел
N2
N3
N1 = N3
N4 = N2

41. Поиск стержней с нулевыми усилиями

F

42. Поиск стержней с нулевыми усилиями

F

43. Поиск стержней с нулевыми усилиями

F

44.

Определение продольных сил в стержнях ферм
Способ моментной точки (Риттера)
I
?
I
A
N2
B
K3
VA
N1
K1
N3
A
( отс)
m
N1 K1 ,F
mK1 0
h1
А н а л о г и ч н о:
m 0
m 0
K3
K2
K2
N3
N2

45.

Сущность основного случая способа МТ(Р):
если искомое усилие выявляется сечением,
которое разделяет ферму на отдельные части,
проходя по трём стержням (включая тот,
усилие в котором требуется найти), то для
определения усилия используется уравнение
равновесия
моментов
относительно
точки
пересечения линий действия двух других
продольных сил, выявленных сечением).

46.

Определение продольных сил в стержнях ферм
Способ моментной точки (Риттера)
Особые случаи способа МТ(Р):
1. Сечение, разделяющее ферму на части,
проходит более чем по трём стержням, но
линии действия всех выявленных сечением
усилий, кроме искомого, сходятся в одной
точке, которая и принимается в качестве
I
моментной точки.
h1
F
?
II
K2
A
m
(отс)
K1
0
c
?
d
F
II
K1
B
I
( отс)
m
N1 K1 ,F
h1

47.

2. Сечение проходит более чем по трём
стержням, но неизвестны усилия в трёх (или
менее) из них – остальные уже определены
ранее.
Ncd = F – из частного случая
равновесия Т-образного узла
m K(отс)
0
2
N2

48.

Способ проекций
8
3. Моментная точка – бесконечно удаленная
(стержни
с
усилиями,
подлежащими
исключению из уравнения равновесия,
параллельны).
y1
K1
?
A
?
II
I
(отс)
y
1 0
N1
(отс)
y
2 0
N2
B
8
I
II

49.

50.

Метод вырезания узлов

51.

Метод вырезания узлов

52.

Метод вырезания узлов

53.

Метод вырезания узлов

54.

Метод сечений

55.

Метод моментной точки (Риттера):

56.

Метод моментной точки (Риттера):

57.

Метод моментной точки (Риттера):

58.

Метод проекций:

59. Способы определения усилий в стержнях ферм

• Графический
• Аналитический
• Кинематический

60.

К аналитическому способу
относятся: способ вырезания
узлов, способ сечений, их
совместное применение, способ
замены стержней.

61. Способ вырезания узлов

62. Способ вырезания узлов

63. Способ вырезания узлов

y1
N1
N2

64. Способ вырезания узлов

y1
N1
N2

65. Способ вырезания узлов

y1
N1
N2

66. Способ вырезания узлов

y2
N1
N2

67. Способ вырезания узлов

y2
N1
N2

68. Метод сечений

F

69. Метод сечений

F

70. Метод сечений

F

71. Метод сечений

F

72. Метод сечений

F

73. Метод сечений

F

74. Метод сечений

F

75. Метод сечений

F

76. Метод сечений

N1
N1
N2
N3
N2
N3
F

77. Метод сечений

N1
N2
N3

78. Метод сечений

N1
N2
N3
m 0 N
O
2
О

79. Метод сечений

N1
N2
N3
C
m 0 N
C
1

80. Метод сечений

N1
N2
N3
m 0 N
D
3
F
D

81.

82.

83.

84.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Если оси всех стержней и вся приложенная к ферме
нагрузка расположены в одной плоскости, ферма
называется плоской. В дальнейшем будем рассматривать
только плоские фермы.

85.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Примером плоской фермы может
служить стропильная ферма

86.

87.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Другим примером плоской фермы могут служить
конструкции железнодорожного моста

88.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Как видно, нагрузка на ферму передаётся через
продольные прогоны, которые прикреплены к узлам
фермы.

89.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Эксплуатационная нагрузка через поперечные балки
передаётся на узлы боковых ферм моста.

90.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Эксплуатационная нагрузка через поперечные балки
передаётся на узлы боковых ферм моста.

91.

РАСЧЁТ ФЕРМ
?
Метод вырезания узлов в некоторых случаях представляется неоправданно трудоёмким. Рассмотрим ферму.
Требуется определить усилие только в одном, выделенном на чертеже, стержне.

92.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Для определения искомой неизвестной необходимо составить и решить систему, состоящую из 21-го уравнения. Три уравнения равновесия фермы в целом потребуются для определения опорных реакций.
Ещё 18 уравнений появятся, по мере рассмотрения равновесия узлов при движении по кратчайшему пути от левого (неподвижного) шарнира к нужному нам стержню.
Понятно, что при решении системы, состоящей из
21-го уравнения, можно допустить ошибку.

93.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Чтобы убедиться в правильности полученного результата, необходимо составить проверочные уравнения. Для
этого придётся продолжить рассмотрение равновесия узлов фермы.
В четырёх уравнениях, составленных для последних
двух узлов, будет только одна неизвестная величина –
усилие в последнем стержне. Оставшиеся три уравнения
должны выполняться тождественно, то есть выполняют
роль проверочных уравнений.

94.

РАСЧЁТ ФЕРМ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В СТЕРЖНЯХ ФЕРМЫ
МЕТОДОМ СЕЧЕНИЙ
Метод сечений состоит в том, что ферма
разделяется сечением на две части и
рассматривается равновесие одной из этих частей.
Сечение проводится через стержень, в котором
необходимо определить усилие.

95.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Метод сечений состоит в том, что ферма
разделяется сечением на две части и
рассматривается равновесие одной из этих частей.
Сечение проводится через стержень, в котором
необходимо определить усилие.

96.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Можно рассмотреть равновесие любой из
образовавшихся частей фермы.

97.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Любая из частей фермы находится под действием
плоской системы сил, для которой можно составить
только три независимых уравнения равновесия. По этой
причине сечение, по возможности, проводится через три
стержня фермы.

98.

РАСЧЁТ ФЕРМ
УСЛОВИЕ ЖЁСТКОСТИ ФЕРМЫ
Найдём минимальное число N стержней, необходимое
для образования жёсткой конструкции, имеющей n узлов.
Простейшая жёсткая конструкция имеет три узла и три
стержня. Для присоединения каждого из оставшихся n – 3
узлов необходимы два стержня.
Таким образом, получаем:
N = 3 + 2 (n – 3) = 2 n – 3.
Если N < 2 n – 3, конструкция не будет жёсткой.
Рассмотрим
конструкцию
N = 4; n = 4,
следовательно,
N = 4 < 2n – 3 = 5.

99.

РАСЧЁТ ФЕРМ
УСЛОВИЕ ЖЁСТКОСТИ ФЕРМЫ
Найдём минимальное число N стержней, необходимое
для образования жёсткой конструкции, имеющей n узлов.
Простейшая жёсткая конструкция имеет три узла и три
стержня. Для присоединения каждого из оставшихся n – 3
узлов необходимы два стержня.
Таким образом, получаем:
N = 3 + 2 (n – 3) = 2 n – 3.
Если N < 2 n – 3, конструкция не будет жёсткой.
Рассмотрим
конструкцию
N = 4; n = 4,
следовательно,
N = 4 < 2n – 3 = 5.

100.

РАСЧЁТ ФЕРМ
УСЛОВИЕ ЖЁСТКОСТИ ФЕРМЫ
Найдём минимальное число N стержней, необходимое
для образования жёсткой конструкции, имеющей n узлов.
Простейшая жёсткая конструкция имеет три узла и три
стержня. Для присоединения каждого из оставшихся n – 3
узлов необходимы два стержня.
Таким образом, получаем:
N = 3 + 2 (n – 3) = 2 n – 3.
Если N < 2 n – 3, конструкция не будет жёсткой.
Рассмотрим
конструкцию
N = 4; n = 4,
следовательно,
N = 4 < 2n – 3 = 5.

101.

РАСЧЁТ ФЕРМ
УСЛОВИЕ ЖЁСТКОСТИ ФЕРМЫ
Найдём минимальное число N стержней, необходимое
для образования жёсткой конструкции, имеющей n узлов.
Простейшая жёсткая конструкция имеет три узла и три
стержня. Для присоединения каждого из оставшихся n – 3
узлов необходимы два стержня.
Таким образом, получаем:
N = 3 + 2 (n – 3) = 2 n – 3.
Если N < 2 n – 3, конструкция не будет жёсткой.
Рассмотрим
конструкцию
N = 4; n = 4,
следовательно,
N = 4 < 2n – 3 = 5.

102.

РАСЧЁТ ФЕРМ
УСЛОВИЕ ЖЁСТКОСТИ ФЕРМЫ
Найдём минимальное число N стержней, необходимое
для образования жёсткой конструкции, имеющей n узлов.
Простейшая жёсткая конструкция имеет три узла и три
стержня. Для присоединения каждого из оставшихся n – 3
узлов необходимы два стержня.
Таким образом, получаем:
N = 3 + 2 (n – 3) = 2 n – 3.
Если N < 2 n – 3, конструкция не будет жёсткой.
Рассмотрим
конструкцию
N = 4; n = 4,
следовательно,
N = 4 < 2n – 3 = 5.

103.

РАСЧЁТ ФЕРМ
УСЛОВИЕ ЖЁСТКОСТИ ФЕРМЫ
Найдём минимальное число N стержней, необходимое
для образования жёсткой конструкции, имеющей n узлов.
Простейшая жёсткая конструкция имеет три узла и три
стержня. Для присоединения каждого из оставшихся n – 3
узлов необходимы два стержня.
Таким образом, получаем:
N = 3 + 2 (n – 3) = 2 n – 3.
Если N < 2 n – 3, конструкция не будет жёсткой.
Рассмотрим
конструкцию
N = 4; n = 4,
следовательно,
N = 4 < 2n – 3 = 5.

104.

РАСЧЁТ ФЕРМ
УСЛОВИЕ ЖЁСТКОСТИ ФЕРМЫ
Найдём минимальное число N стержней, необходимое
для образования жёсткой конструкции, имеющей n узлов.
Простейшая жёсткая конструкция имеет три узла и три
стержня. Для присоединения каждого из оставшихся n – 3
узлов необходимы два стержня.
Таким образом, получаем:
N = 3 + 2 (n – 3) = 2 n – 3.
Если N < 2 n – 3, конструкция не будет жёсткой.
Рассмотрим
конструкцию
N = 4; n = 4,
следовательно,
N = 4 < 2n – 3 = 5.

105.

РАСЧЁТ ФЕРМ
УСЛОВИЕ ЖЁСТКОСТИ ФЕРМЫ
Найдём минимальное число N стержней, необходимое
для образования жёсткой конструкции, имеющей n узлов.
Простейшая жёсткая конструкция имеет три узла и три
стержня. Для присоединения каждого из оставшихся n – 3
узлов необходимы два стержня.
Таким образом, получаем:
N = 3 + 2 (n – 3) = 2 n – 3.
Если N < 2 n – 3, конструкция не будет жёсткой.
Такая конструкция не является фермой – это механизм.
Как следует из формулы N = 2n – 3, для обеспечения
жёсткости конструкции необходимо при том же количестве
узлов установить ещё один стержень.

106.

РАСЧЁТ ФЕРМ
УСЛОВИЕ ЖЁСТКОСТИ ФЕРМЫ
Найдём минимальное число N стержней, необходимое
для образования жёсткой конструкции, имеющей n узлов.
Простейшая жёсткая конструкция имеет три узла и три
стержня. Для присоединения каждого из оставшихся n – 3
узлов необходимы два стержня.
Таким образом, получаем:
N = 3 + 2 (n – 3) = 2 n – 3.
Если N < 2 n – 3, конструкция не будет жёсткой.

107.

РАСЧЁТ ФЕРМ
УСЛОВИЕ ЖЁСТКОСТИ ФЕРМЫ
Найдём минимальное число N стержней, необходимое
для образования жёсткой конструкции, имеющей n узлов.
Простейшая жёсткая конструкция имеет три узла и три
стержня. Для присоединения каждого из оставшихся n – 3
узлов необходимы два стержня.
Таким образом, получаем:
N = 3 + 2 (n – 3) = 2 n – 3.
Если N > 2n – 3, конструкция будет
жёсткой, но число неизвестных будет
больше числа уравнений равновесия,
в которые эти неизвестные входят.
N = 6 > 2n – 3 = 5. Конструкция будет жёсткой, но наличие «лишнего» стержня, конечно, будет иметь некоторые последствия.

108.

РАСЧЁТ ФЕРМ
УСЛОВИЕ СТАТИЧЕСКОЙ ОПРЕДЕЛИМОСТИ ФЕРМЫ
Ферма называется статически определимой, если число неизвестных равно числу уравнений равновесия, в которые эти неизвестные входят. Для фермы, имеющей n
узлов, можно составить 2n независимых уравнений равновесия. В число неизвестных входят N усилий в стержнях фермы и три составляющие реакций внешних опор.
Таким образом, ферма будет статически определимой
при выолнении условия
N = 2n – 3,
которое, как видно, совпадает с условием жёсткости.

109.

РАСЧЁТ ФЕРМ
УСЛОВИЕ СТАТИЧЕСКОЙ ОПРЕДЕЛИМОСТИ ФЕРМЫ
«Лишние» опоры – ненужные для обеспечения
равновесия абсолютно твёрдого тела – могут появиться
по двум основным причинам.
Во-первых, причины могут быть технологическими:
перекрытие кладётся на две стены, хотя теоретически
можно было бы обойтись одной заделкой.
Во-вторых, дополнительные опоры приходится
устанавливать,
чтобы предотвратить недопустимо
большие
деформации, опасные для прочности
конструкции.

110.

Нулевые стержни:

111.

Нулевые стержни:

112.

Нулевые стержни:

113. Способ вырезания узлов

y2
N1
N2

114.

Метод сечений:

115.

Метод сечений:

116.

117.

Шарнир, соединяющий несколько
стержней – узел.
Фермы могут состоять из главных и
второстепенных частей (рис. 4.5).
Рис. 4.5

118.

рис. 4.1 балочная ферма
Ферма – это шарнирно-стержневая
система, состоящая из стержней с
прямолинейной осью, соединённых
между собой в узлах цилиндрическими
шарнирами.

119.

l – пролёт фермы, h – высота фермы, d –
длина панели. Стержни, ограничивающие
ферму сверху – верхний пояс, снизу –
нижний пояс, вертикальные стержни между
верхним и нижним поясами – стойки,
наклонные – раскосы.
h
d
d
d
d
d
l
рис. 4.2 балочная ферма
d

120.

Совокупность стоек и раскосов образует
решётку фермы. Наиболее распространены
фермы с треугольной решёткой (рис. 4.1 и 4.2).
Фермы могут быть балочные (рис. 4.1 и 4.2)
и консольные (рис. 4.3),
Рис. 4.3

121.

балочные фермы могут включать в себя
консоли (рис. 4.4):
Рис. 4.4

122.

Кинематический анализ ферм
Необходимое условие геометрической
неизменяемости: W = nD– nc 0
а) по общей формуле:
Вычисление W:
W = 3D – 2H – C0 – для плоской фермы
5D – 3H – C0 – для пространственной фермы
( D = числу стержней фермы)
б) по специальной формуле для ферм:
2Y – C – C0 – для плоской фермы
W = 3Y – C – C – для пространственной фермы
0
( C – число стержней фермы; Y – количество узлов)