Кут між площинами. Лінійний кут двогранного кута

1. Кут між площинами. Лінійний кут двогранного кута

10 клас

2.

Мозковий штурм
Що називають перпендикуляром до площини?
Що називають похилою до площини?
Що називають проекцією похилої на площину?
Сформулюйте означення кута між прямою і площиною
Сформулюйте означення прямої, перпендикулярної до
площини.
Сформулюйте теорему про три перпендикуляри.
Що називають кутом між площинами?
Які площини називають перпендикулярними?
Назвіть одиниці вимірювання кутів.

3.

Для допитливих
В деяких країнах, наприклад в Англіі, кути
вимірюють в градах. Градова міра отримана
шляхом поділу прямого кута на 100 рівних
частин або град. Один град (1q) має 100 градових
мінут (сантиград – 100с), а 1 градова мінута – 100
градових секунд (санти-сантиград – 100сс).

4.

Двогранним кутом називається фігура, утворена
двома пів площинами із спільною прямою, що їх
обмежує.
Півплощини називають гранями, а пряму, що їх
обмежує, – ребром двогранного кута.
а
Пряма a – ребро двогранного кута

5.

Лінійний кут двогранного кута – це кут,
утворений двома пів прямими, по яких площина,
перпендикулярна до ребра двогранного кута,
перетинає даний двогранний кут.
Градусною мірою двогранного кута називають
градусну міру його лінійного кута.
Всі лінійні кути двогранного кута рівні.

6.

Кутом між площинами, які перетинаються,
називається кут між прямими, проведеними в
цих площинах зі спільної точки перпендикулярно
до лінії їх перетину.

7.

Властивості лінійних кутів двогранного кута:
1. Міра двогранного кута не залежить від вибору лінійного
2. кута.
2. За міру двогранного кута приймають міру відповідного
йому лінійного кута.
3. З двох двогранних кутів уважають більшим той, лінійний
кут якого більший.
4. Міра двогранного кута знаходиться в межах від 0° до 180°.
5. Вертикальні двогранні кути рівні.
6. Двогранні кути з відповідно паралельними й однаково
(протилежно) направленими гранями рівні.
7. Усі прямі двогранні кути рівні.
8. Бісектриса кожного лінійного кута належить бісектрисі
заданого двогранного кута.
9. Бісектриса двогранного кута є геометричним місцем
точок, що лежать усередині цього кута й рівновіддалені
від площин його граней.

8.

Способи побудови лінійного кута двогранного кута:
1
2
На ребрі кута позначаємо точку;
через неї в гранях кута проводимо
дві пів прямі, перпендикулярні до
ребра кута. Кут, утворений цими пів
прямими, – лінійний кут поданого
двогранного кута;
На одній із граней кута позначаємо
точку і через неї проводимо
перпендикуляри до площини іншої
грані та до ребра кута. Тоді
одержаний кут (або суміжний з ним) є
лінійним кутом двогранного кута.
Зауваження. Цей спосіб неприйнятний у випадку, якщо двогранний кут прямий.

9.

Пригадаємо

10.

Пригадаємо
Теорема косинусів

11. Усно

Кут ABC — лiнiйний кут двогранного кута з ребром n.
Яке взаємне розміщення прямої n i площини ABC?
n ┴(АВC)
A
n
B
C

12. Усно

Прямокутник ABCD i квадрат KMCD мають спiльну
сторону i лежать у рiзних площинах.
Назвiть: 1) лiнiйний кут двогранного кута мiж
площинами квадрата i прямокутника;
2) ребро цього двогранного кута.
В
1)
А
АDК,
2) DС
С
М
D
К
ВСМ

13.

Завдання №1.
В
М
С
А
К
D
Е
ABCD і CMKE– ромби, що не лежать
в одній площині. Причому BD ||ME.
Побудувати лінійний кут
двогранного кута, визначеного
площинами цих ромбів. Побудову
обґрунтувати.
Так як у ромба діагоналі взаємноперпендикулярні, то ˪АСК – шуканий
лінійний кут двогранного кута.

14. Завдання №2.

Дано: ˪(ᾀ,ꞵ) - двогранний кут, MN-ребро (див. рисунок);
Aєꞵ, АВ ┴ МN, АС ┴ᾀ.
Знайти: ˪ABC — лiнiйний кут двогранного кута? Вид ΔABC.
Розв'язання
ꞵ
1.Якщо АС ┴ᾀ, то АС-перпендикуляр,
АВ - похила, СВ - проекція.
2. За умовою АВ ┴ МN. Отже за
т.про три перпендикуляри ВС ┴ МN.
ᾀ
3. АС ┴ᾀ
Отже за означенням ˪ABC — лiнiйний
кут двогранного кута.
АС ┴ ВС, отже ΔABC- прямокутний.

15.

Завдання №3.
Дано:ABCD—квадрат, PD ┴(ABC).
Знайти: кути мiж площинами:
а) PBC i ABC; б)PCD i ABC;
в) PAD i PCD
Разв’язання
а) PBC i ABC
PCD
DC┴CB
PC┴CB
CB-ребро дв-го кута
2) ABCD—квадрат, пряма PD перпендику лярна до площини ABC. Назвiть ку ти мiж площинами:
а) PBC i ABC; б)PCD i ABC;
в) PAD i PCD; г)PAD i PBC.
б)PCD i ABC, CD- ребро дв-го кута
РD┴DC
АD┴DC
PDA
в) PAD i PCD, PD-ребро дв-го кута
АD┴РD
СD┴РD
ADC

16.

Завдання №4.
Розв'язання
6
˪ АВС – шуканий кут.
У ΔАВС відомі дві сторони і
кут, що лежить напроти однієї
з них.

17.

Завдання №5.
Розв’язок: Нехай сторона АВ трикутника АВС лежить _____ ,
а вершина С ____ . Опустимо з точки С перпендикуляр ____ на ___ .
AD – проекція ____ на _____ ; ВD - ____ , отже, за умовою ˪ADВ = ___ ,
а ˪СAD = ____ , і ˪СВD = ___ - це кути ________ . Ребром шуканого кута є ___ .

18.

Перевіримо

19.

Питання для самоперевірки:
1. Що називають ребром двогранного кута?
2. Чи залежить від вибору лінійного кута міра двогранного кута?
3. Що буде геометричним місцем точок, що лежать усередині
двогранного кута й рівновіддалені від площин його граней?
4. Як називають півплощини, які утворюють двогранний кут?
5. Що можна сказати про усі прямі двогранні кути?
6. Що приймають за міру двогранного кута?
7. В яких межах знаходиться міра двогранного кута?
8. Що ви знаєте про вертикальні двогранні кути?

20.

Відповіді
1. Пряму, що обмежує його грані.
2. Ні.
3. Бісектриса двогранного кута.
4. Гранями.
5. Вони рівні.
6. Міру відповідного йому лінійного кута.
7. Від 0° до 180°.
8. Вони рівні.

21.

Диференційована самостійна робота
З точки О (точка перетину діагоналей квадрата)
проведено перпендикуляр ОМ до площини
квадрата так, що МА = МВ = МС = МD = АВ.
Рівень
Початковий
Середній
Достатній
Завдання
Побудувати кут
між площинами
Обчислити його
величину
Побудувати кут
між площинами
та обчислити
його величину
І варіант
ІІ варіант
ІІІ варіант
ІVваріант
АВМ і АВС ВСМ і АВС
СDМ і АВС
АDМ і АВС
АВМ і
ВСМ
СDМ і АВМ
АDМ і ВСМ
ВСМ і СDМ

22.

Рефлексія:
На уроці найважливішим відкриттям для мене було…
Мені сподобався ( не сподобався) результат моєї роботи
на уроці, тому що…
Сьогодні на уроці я навчився (згадав)…
Найбільше на уроці мені запам’яталось те, що…
Мої враження після уроку такі…