5 лекция

1. ХАЛЫҚАРАЛЫҚ ИНЖЕНЕРЛІК-ТЕХНОЛОГИЯЛЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ

ХАЛЫҚАРАЛЫҚ ИНЖЕНЕРЛІКТЕХНОЛОГИЯЛЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ
Векторлар, оларға қолданылатын сызықтық
амалдар.
Векторлардың скалярлық көбейтіндісі.
Векторлық , аралас көбейтінділер. Олардың
қасиеттері
Лектор: Утегалиева Фазила

2.

Басы А нүктесімен, ұшы В нүктесімен берілген бағытталған кесінді AB векторы деп
аталады. AB сәулесінің бағыты AB векторының бағыты, ал AB ара қашықтығы –
вектордың ұзындығы болып табылады.
Кез келген A нүктені бас нүктесімен соңғы нүктесі (ұшы) беттескен бағытталған
кесінді деп қарастыруға болады. Бұл «бағытталған кесінді» AA -нөлдік вектор деп
аталады.
Вектор бір әріппен де, мәселен a деп, белгіленеді, нөлдік вектор О символымен
белгіленеді.
Ұзындықтары тең және бірдей бағытталған екі нөлдік емес вектор тең векторлар деп
аталады.

3.

Кез келген a векторы және кез келген А нүктесі үшін, басы А нүктесінен
шығатын a векторына тең АВ векторы бар болады және ол біреу ғана.
Ондайда a векторы А нүктесінен салынған делінеді. Бұдан былай әр
нүктеден салынған тең векторларды бір вектор деп санаймыз. Мысалы, 1-ші
суретте АВ , А В векторлары бір ғана а векторын кескіндейді
1
1

4.

Егер кез келген О нүктесінен ОА а , A нүктесінен А А а ,.,тағы сол сияқты, А
нүктесінен A A a векторлары салынса, онда осыларды тұйықтайтын OA
векторы a , a ,..., a векторларының қосындысы болып табылады.Демек,
(4 сур.)
OA = OA A A + A A = a a ... a
a векторы мен b векторының айырмасы деп c b a болатындай c векторы
аталады. Айырма мына түрде жазылады:
1
n 1 n
1
1
2
1
1
1
2
n 1
2
n
n
n
1
2
n 1
n
1
а b c
2
n
Екі вектордың айырмасын салу үшін сол векторларды бір нүктеден бастап
салып, олардың ұштарын қосу керек; айырма вектор азайтқыш вектордың
ұшынан азайғыш вектордың үшына бағытталады. (5 сур.).

5.

Енді параллелограмм ережесін тұжырымдауға болады.
Егер а және b векторлары O нүктесінен салынып, сол векторлардан ОАСВ
параллелограммы құрылатын болса (6 сур.), онда осы параллеграммның O нүктесінен
шығатын диагоналімен бетесетін ОС векторы а + b қосындысын, ал екінші диагоналімен
беттесетін ВА векторы а - b айырмасын кескіндейді.
Ескерту. А және В нүктелері бір түзу бойында жатқан жағдай үшін параллеграмм
ережесі қолданылмайды. Бұл жағдайда а + b қосындысы үшбұрыш ережесі бойынша
салынады.
Нөлдік емес а векторының 0 санына көбейтіндісі деп, ұзындығы а болатын, ал
бағыты 0 болғанда а векторымен бағыттас, 0 болғанда а векторына қарама-қарсы
бағытталған векторды айтады да, оны a деп белгілейді.
Нөлдік вектордың кез келген санға көбейтіндісі және кез келген вектордың нөль
санына көбейтіндісі нөлдік вектор болып табылады.

6.

Вектордың санға көбейтіндісі мына қасиеттерге ие болады:
1. a a (сан көбейткішке қатысты терімділік қасиеті)
2. a a a (сан көбейткішке қатысты үлестірімділік қасиеті)
3. a b a b (векторлардың қосындысына қатысты үлестірімділік қасиеті).
Бағыттары бірдей немесе қарама-қарсы болатын нөльдік емес екі вектор
коллинеар векторлар деп аталады.
Нөльдік вектор кез келген векторға коллинеар деп алынады.
Төмендегі тұжырым векторлардың коллинеар болу шартын анықтайды:
а
векторы және нөльдік емес b векторы коллинеар болуы үшін
а
= b
теңдігін қанағаттандыратын бір ғана нақты λ санның болуы қажетті және
жеткілікті

7.

Векторлардың скалярлық көбейтіндісі.
Скаляр көбейтiндi. Қасиеттерi.
Нөльдiк емес екi вектордың скаляр көбейтiндiсi деп осы векторлардың ұзындықтары мен
олардың арасындығы бұрыштың косинусының көбейтiндiсiне тең болатын санды
(скалярды) айтады. Скаляр көбейтiндi a b деп белгiленедi. Анықтама бойынша,
a b a b cos
мұнда (a, b ) 0
Егер екi вектордың кем дегенде бiреуi нөльдiк вектор болса, онда олардың скаляр
көбейтiндiсi нөльге тең деп алынады.
Скаляр көбейтiндiнiң геометриялық қасиеттерi.
1.Нөльдiк емес екi вектор перпендикуляр болуы үшiн олардың скаляр көбейтiндiсi нөльге
тең болуы қажеттi және жеткiлiктi.
2.Нөлдік емес екi вектор арасындағы бұрыш сүйiр (доғал) болуы үшiн олардың скаляр
көбейтiндiсi оң (терiс) болуы қажеттi және жеткiлiктi.

8.

Скаляр көбейтiндiнiң алгебралық қасиеттерi.
1. a b b a (ауыстырымдылық қасиетi)
2. a b a b (терiмдiлiк қасиетi)
3. a b c a b a c (үлестiрiмдiлiк қасиетi)
4. a a 0, егер a 0
5. a a 0 егер a 0
6. a a өрнекті a векторының скаляр квадраты деп атайды да, оны a 2 символымен
белгiлейдi. Олай болса,
2
a2 a
Бұдан вектордың ұзындығын есептейтiн формула шығады.
a a2

9.

Векторлардың векторлық көбейтiндiсі. Қасиеттері.
Нөлдiк емес a және b векторларының векторлық көбейтiндiсi деп мына шарттарды
қанағаттандыратын үшiншi c векторы аталады:
1) c векторының ұзындығы
формуласымен анықталады.
c a b sin a, b
2) c векторы a, b векторының екеуіне де перпендикуляр.
3) c векторы a , b , c үштiгi оңқай болатындай бағытталады.(32 сур.)
Векторлық көбейтiндi a b түрінде жазылады.
Егер екi вектордың кем дегенде бiреуi нөлдiк болса, онда олардың векторлық
көбейтiндiсi нөльге тең деп алынады.
Векторлық көбейтiндi ұғымы механикада пайда болған. Егер b векторы M нүктесiне
келтiрiлген күштi кескiндесе, ал a векторы O нүктесiне келтiрiлiп, ОМ а болса, онда
c a b векторы b күшiнiң O нүктесіне қатысты моменті болып табылады

10.

Векторлық көбейтiндiнiң геометриялық қасиеттерi.
1. Нөлдiк емес екi вектор коллинеар болуы үшiн олардың векторлық көбейтiндiсi
нөльге тең болуы қажеттi және жеткiлiктi.
2. a b векторлық көбейтiндiнің ұзындығы бiр нүктеден шығатын a, b векторларына
құрылған параллелограмм ауданының сан мәнiне тең.
Векторлық көбейтiндiнiң алгебралық қасиеттерi.
1. a b b a.
2. a b a b .
3. a b c a c b c
4. a a 0.

11.

Векторлық көбейтiндiнiң тiк бұрышты координаталар арқылы берілуі.
a x1 , y1 , z1 , b x2 , y2 , z 2
Тiк бұрышты координаталарымен берiлген
векторларының векторлық көбейтiндiсi мына формуламен есептеледі:
y1 z1 z1 x1 x1 y1
a b
i
j
k
y 2 z 2 z 2 x2 x2 y 2
Бұл формуланы мына түрде жазуға да болады:
i j k
a b x1 y1 z1
x2 y 2 z 2

12.

Векторлардың аралас көбейтiндiсi.
Нөлдiк емес реттелген a , b , c векторларының аралас көбейтiндiсi деп a b векторымен
c векторының скаляр көбейтiндiсi аталады.
Аралас көбейтiндiні a b c деп белгiлейміз. Анықтама бойынша
a b c a b c
Егер үш вектордың кем дегенде бiреуi нөлдiк вектор болса, онда олардың аралас
көбейтiндiсi нөльге тең болады.
Компланар емес a , b , c
векторларының аралас көбейтiндiсi бiр нүктеге келтiрiлген
a , b , c векторларынан құрылған параллелепипед көлемiнің сан мәніне тең.
Бұған қоса айтатынымыз, егер a , b , c векторлары оңқай үштік құрайтын болса, онда
көлемнің мәні ретінде a b c көбейтiндiсі өз таңбасымен алынады, ал аталған үштiгi
солақай болса, a b c көбейтiндiсiнің қарама-қарсы таңбамен алынған мәні аталған
көлемді береді.
a , b , c аралас көбейтiндiнiң нөльге тең болуы осы векторлардың компланар болуының
қажеттi және жеткiлiктi шарты.

13.

Аралас көбейтiндiнiң қасиеттерi
1)
a b c a b c
2)
a b c a b c b c a b a c c b a a c b
3)
a1 a2 b c a1 b c a2 b c
4)
a b c a b c a b c (a b c )
=
Егер a x , y , z , b x , y , z , c x , y , z векторлары тiк бұрышты координаталарымен
берiлсе, онда аралас көбейтiндi мына түрде жазылады:
1
1
1
2
2
2
3
3
3
x1 y1 z1
a b c x2 y 2 z 2
x3 y 3 z 3

14. Назарларыңызға рахмет!