Жазықтықтағы және кеңістіктегі тікбұрышты координаталар. Векторлар және оларға қолданылатын сызықтық амалдар

1. Тақырыбы: Жазықтықтағы және кеңістіктегі тікбұрышты координаталар Векторлар  және оларға  қолданылатын сызықтық  амалдар.

ТАҚЫРЫБЫ:
ЖАЗЫҚТЫҚТАҒЫ ЖӘНЕ
КЕҢІСТІКТЕГІ ТІКБҰРЫШТЫ
КООРДИНАТАЛАР
ВЕКТОРЛАР ЖӘНЕ ОЛАРҒА
ҚОЛДАНЫЛАТЫН
СЫЗЫҚТЫҚ АМАЛДАР.

2. Жоспары:

ЖОСПАРЫ:
Вектор шамалар ұғымы. Оларды қосу,
алу, санға көбейту.
Векторлардың скаляр көбейтіндісі.
Векторлардың вектор көбейтіндісі.

3. Векторларды қосу

ВЕКТОРЛАРДЫ ҚОСУ
a және b векторларының a+b қосындысын параллелограмм ережесі
бойынша есептеуге болады.
Бұл үшін бұл векторларды сызайық:
a+b қосындысын есептеу табу үшін a -нің ұшына b -нің басын
орналастырамыз:

4.

Бұл схеманы параллелограммға дейін толықтырамыз:
a+b қосындысы, басы a-нің басымен ал ұшы bнің ұшымен сәйкес келетің вектор болады:
Соңғы схема бойынша a+b қосындысы сызылған
параллелограммның диагоналіне тең болады, соңдықтан
бұл әдісті параллелограмм ережесі деп атайды.

5. Векторларды алу

ВЕКТОРЛАРДЫ АЛУ
a және b векторларының a – b айырымын
есептеу үшін үшбұрыштар ережесі
пайдалынады:
Бұл үшін бұл векторларды сызайық:
a -нің және b -нің ұштарын біріктірейік:

6.

a– b айырымы, басы a-нің
басымен ал ұшы b-нің
басымен сәйкес келетің
вектор болады:

7. Скаляр көбейтіндісі

СКАЛЯР КӨБЕЙТІНДІСІ
Аңықтама.
a және b векторларының (a, b)
скаляр көбейтіндісі деп ax· bx + ay·
by саның атаймыз:
(a, b) = ax · bx+ay · by
Мысалы a = {1, 3}, b = {4, 2} болса,
онда (a, b) = 1·4+3·2 = 4+6 = 10.

8. Скаляр көбейтіндінің қасиеттері:

СКАЛЯР КӨБЕЙТІНДІНІҢ ҚАСИЕТТЕРІ:
1).
(a, b) = (b, a)
2).
(a, a) = |a|2
3).
(a+b, c) = (a, c) + (b, c)
4).
(a –b, c) = (a, c) -(b, c)
5).
(k ·a, b) = (a, k ·b)=k ·(a, b)

9. Скаляр көбейтіндісінің геометрикалық интерпретациясы.

СКАЛЯР КӨБЕЙТІНДІСІНІҢ
ГЕОМЕТРИКАЛЫҚ ИНТЕРПРЕТАЦИЯСЫ.
a және b векторларының (a, b) скаляр көбйтіндісі бұл
векторлардың модульдерінің осы векторлардың
арасындағы бұрыштың косинусының көбейтіндісіне тең.
Яғни (a, b) =|a| · |b| cos∠(a, b),
мұндағы ∠(a, b) дегеніміз a және b векторларының
арасындағы бұрыш:

10. Векторлардың вектор көбейтіндісі.

ВЕКТОРЛАРДЫҢ ВЕКТОР КӨБЕЙТІНДІСІ.
a векторы мен b векторының R кеңістігіндегі
векторлық көбейтіндісі деп келесі шарттарды
қанағаттандарытын c векторын айтады:
c векторының ұзындығы a және b
векторларының ұзындықтарының және
олардың арасындағы бұрышының синусының
көбейтіндісіне тең:|с|=|a||b|sin
c векторы әр a және b векторларына ортогональ ;
c векторыны abc векторлар үштігі оң болатындай
бағытталған;
R кеңістігі үшін a,b,c векторлар үштігінің ассоциативтігі
орындалу қажет.

11. ВЕКТОРЛАРДЫҢ АРАЛАС КӨБЕЙТІНДІСІ

Егер біз және векторларын скалярлық түрде көбе
йтсек, оның нәтижесі сан болады. Осы санды үшінші
векторына көбейтсек, онда
векторына коллинеар
лы вектор шығады.
Егер
және
векторларының векторлық көбейтінд
ісін тапсақ, онда жаңа
векторы шығады. Бірінші
жағдайда біз векторлардың векторлы –
скалярлық көбейтіндісін аламыз:
, ал екінші
жағдайда екі еселі векторлық көбейтінді аламыз: .
Векторлыскалярлық көбейтіндіні аралас көбейтінді деп атап, оны
былай белгілейді:
немесе
Енді осы біз , ,
векторларының аралас көбейтінділерінің геометриялы
қ мағынасын анықтайық: