ПРЕЗЕНТАШКА1

1. Тема: Бесконечно большие и бесконечно малые функции: две стороны одной монеты

•Подготовили Палкуш Н. В. Гасанов Т. Р. Чуба Р. Е.
•Группа И-2-23-01

2. Содержание

1.Что такое бесконечно малые функции?
2.Что такое бесконечно большие функции?
3.Ключевые сходства
4.Основные различия
5.Выводы и заключение

3.  Бесконечно малые функции (Б.М.)

Бесконечно малые функции (Б.М.)
Определение:
Функция α(x) называется бесконечно малой при x → a, если ее предел равен нулю.
lim (x→a) α(x) = 0
Простыми словами:
Когда x приближается к какой-то точке a, значение функции α(x) становится всё ближе и ближе к
нулю. В конце концов, оно становится меньше любого наперед заданного числа.
Наглядный пример:
α(x) = (x - 1) при x → 1.
x=1.1 → α(x)=0.1
x=1.01 → 0.01
x=1.001 → 0.001...
Видно, что функция стремится к нулю.

4. Бесконечно большие функции (Б.Б.)

Определение:
Функция f(x) называется бесконечно большой при x → a, если ее модуль неограниченно
возрастает.
lim (x→a) |f(x)| = ∞
Простыми словами:
Когда x приближается к точке a, значение функции f(x) по модулю становится всё больше и
больше, превосходя любое наперед заданное число.
Наглядный пример:
f(x) = 1 / (x - 1) при x → 1.
x=1.1 → f(x)=10
x=1.01 → 100
x=1.001 → 1000...
Видно, что функция "улетает" в бесконечность.

5. Сходства (Что у них общего?)

• Зависимость от процесса. Обе концепции имеют смысл только при
указании процесса стремления (x → a, x → ∞ и т.д.). Одна и та же
функция может быть как б.м., так и б.б. при разных условиях.
• Пример: f(x) = 1/x. При x → ∞ — б.м., а при x → 0 — б.б.
• "Пороговая" природа. Мы говорим о поведении функции в пределе, в
некоторой окрестности точки, а не в самой точке.
• Сравнительный анализ. И для б.м., и для б.б. функций существуют
понятия сравнения ("эквивалентные", "одного порядка малости/роста"),
которые упрощают вычисление пределов.

6. Различия

Бесконечно малые (Б.М.)
Бесконечно большие (Б.Б.)
Стремятся к нулю
Стремятся к бесконечности
"Исчезающе малы"
"Неограниченно велики"
Стабильность: Сумма двух б.м. — тоже б.м.
Нестабильность: Сумма двух б.б. может быть
как б.б., так и конечной величиной
(неопределенность ∞ - ∞).
Обратная связь: Если α(x) — б.м. и α(x) ≠ 0,
то 1/α(x) — б.б.
Обратная связь: Если f(x) — б.б., то 1/f(x) —
б.м.

7. Заключение и выводы

• Б.М. и Б.Б. функции — это взаимосвязанные и взаимно обратные
понятия.
• Главное сходство: их поведение определяется в пределе, в окрестности
точки.
• Главное различие: направление этого поведения (к нулю или к
бесконечности) и свойства их алгебраических операций.
• Эти понятия являются фундаментом математического анализа и
используются для определения предела, производной и непрерывности
функции.
• Ключевая мысль:
Изучая одну из этих концепций, вы автоматически получаете
представление и о другой, благодаря их обратной связи.

8. Список использованной литературы

1.Фихтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального
исчисления». — Т. 1.
2.Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. «Математический
анализ». — Ч. 1.
3.Кудрявцев Л.Д. «Курс математического анализа». — Т. 1.
4.Материалы лекций по математическому анализу.