Бесконечно большие последовательности

1.

Бесконечно большие последовательности
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовая последовательность {xn} называется
бесконечно большой, если M>0 N ℕ такое, что
| xn | >M , n>N.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Расширим множество ℝ .
I способ. Дополним множество ℝ элементами, обозначаемыми
+
и – (называют: «плюс бесконечность» и «минус
бесконечность»)
При этом справедливо: – < r < + , r ℝ .
II способ. Дополним множество ℝ элементом, обозначаемыми
(называют: «бесконечность»)
При этом не связана с действительными числами
отношением порядка.

2.

Множество ℝ∪{– , + } и ℝ∪{ } называют расширенным
множеством действительных чисел (способ расширения
всегда понятен из контекста).
Обозначают: ℝ̄ .
Элементы – , + , называют бесконечно удаленными
точками числовой прямой.
-окрестностью точек – , + , считают следующие множества:
U(+ , ) = { x ℝ | x > 1/ }
1 x
0
U(– , ) = { x ℝ | x < –1/ }
1
U( , ) = { x ℝ | | x | > 1/ }
1
0
0 x
1
x

3.

Частные случаи бесконечно больших последовательностей:
1) {xn} – бесконечно большая и xn 0 , n .
Тогда | xn | = xn >M , n>N
⇒ все члены последовательности, за исключением может
быть конечного их числа, находятся в любой -окрестности
точки + .
x
, x
Записывают:lim
n
n
n
Говорят: «последовательность { xn } стремиться к + ».
lim
x
,x
n
n
n
2) { xn } – бесконечно большая и xn 0 , n .
Записывают:
Говорят: «последовательность { xn } стремиться к – ».
lim
x
,x
n
n
n

4.

СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
1) Если {xn} – б.б., то последовательность {1/xn} – б.м.
Если последовательность { n} – б.м, то {1/ n} – б.б.
2) Если {xn} и {yn} – б.б. последовательности одного знака, то
их сумма { xn + yn } – б.б. того же знака.
3) Если {xn} – б.б., а {yn} – ограниченна, то их сумма {xn + yn} –
б.б. последовательность.
4) Если {xn} и {yn} – б.б., то их произведение {xn yn} – б.б.
последовательность.
5) Если {xn} – б.б., {yn} – сходящаяся, причем то
произведение {xn yn} – б.б. последовательность.
их
6) Если {xn} – ограниченная и отделимая от нуля, {yn} – б.б.,
то их произведение {xn yn} – б.б. последовательность.

5.

7) Если последовательность {xn} – б.б. и для любого n ℕ имеет
место неравенство
| xn | < | yn | (| xn | | yn |),
то последовательность {yn} тоже является б.б.
8) Пусть {xn} и {yn} – б.б. одного знака и для любого n ℕ
имеет место неравенство
xn zn yn .
Тогда последовательность {zn} тоже является б.б. того же
знака.

6. Бесконечно малые функции

Функция y = f(x) называется бесконечно малой при
x
x
(x
) если
0
lim
f(x) 0
x
x0
x
Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми
величинами; обозначают обычно греческими буквами α, β и т. д.
Например:
sin
lim
x 0
x
0
(x) sin
x - бесконечно малая функция при x 0
Теорема
Если функция y = f(x) имеет предел, равный А, то ее можно
представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(x)
lim
f
(
x
)
A
f
(
x
)
A
(
x
)
x
x
0

7.

Свойства бесконечно малых
Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая
высшего порядка по сравнению с сомножителями:
o
(
);
o
(
)
Бесконечно малые эквивалентны тогда и только тогда, когда их
разность является бесконечно малой высшего порядка
относительно α и β .
;
o
(
);
o
(
)
~
Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот
предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых
эквивалентной ей бесконечно малой.
1
lim
A
;
~
;
~
lim
A
1
1
x
x
x
x
0
0
1

8.

Полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно
малых при x 0
sinx ~ x;
tgx ~ x;
arcsinx
x~ ;
arctg
x~x;
m
ex 1~ x;
1 x 1~mx
;
x
a 1~x ln
a
;
x2
1
cos
x~ .
x 1 ~x;
ln
2
x
~
log
1
x
log
e
;
a
a
sin
x
0
lim
x
04
1 x 1 0
x
lim
4
x
0
0.25
x
sinx ~ x
1
1
1 x 4 1~ x
4

9. Непрерывность функции в точке

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки
x0, и в самой точке x0.
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0 , если
существует предел функции в этой точке и он равен значению
функции в этой точке:
lim
f(x) f(x
)
0
x
x
0
(1)
Равенство (1) означает выполнение трех условий:
1
Функция y = f(x) определена в точке x0 и в ее окрестности.
2
Функция y = f(x) имеет предел при
3
Предел функции в точке x0 равен значению функции в этой
точке.
x x0

10. Непрерывность функции в точке

Так как limx x то равенство (1) можно записать в виде:
0
x x0
lim
f
(
x
)
f
(
lim
x
)
f
(
x
)
0
x
x
0
x
x
0
Это значит, что при нахождении предела непрерывной функции
можно перейти к пределу под знаком функции:
lim e
x 0
sin x
x
sinx
x 0 x
e
lim
e
1
e
Равенство справедливо в силу
непрерывности функции y = ex

11. Непрерывность функции в точке

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой интервале (a; b).
Возьмем произвольную точку
x0 (a;b)
Разность x – x0 называется приращением аргумента х в точке х0
и обозначается:
x x x0
y
y = f(x )
y0 = f(x0 )
0
y
x
х0
х
х
Разность соответствующих
значений функций f(x) – f(x0)
называется приращением
функции f(x) в точке х0 и
обозначается:
y f(x
)
f(x
)
0
Приращения x и y могут быть положительными и
отрицательными.

12. Непрерывность функции в точке

Преобразуем равенство (1):
y
lim
f(x) f(x
)
0
y
x
x
0
y0
0
lim
f(
x
)
f(
x
)
0
0
х0
х
х
x
x
0
0
lim y 0
x 0
Полученное равенство является еще одним определением
непрерывности функции в точке:
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0 , если она
определена в точке x0 и ее окрестности и бесконечно малому
приращению аргумента соответствует бесконечно малое
приращение функции.

13. Точки разрыва функции

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называется
точками разрыва функции.
Если x = x0 – точка разрыва функции, то в ней не выполняется по
крайней мере одно из условий первого определения
непрерывности, а именно:
y
1
Функция f(x) определена в
окрестности точки х0 , но
не определена в самой
точке х0 :
Функция
1
y
x 2
0
2
не определена в точке х = 2 , но определена в любой
окрестности этой точки, поэтому х = 2 - точка разрыва.
х

14. Точки разрыва функции

2
Функция f(x) определена в точке х0 и в ее окрестности, но не
существует предела f(x) при x x 0
Функция
x
1
; x
2
y
2
x
; x
2
определена в точке х = 2 , но но не имеет предела при
x 2:
f(x) 0
limf(x) 1 xlim
2 0
y
x
2 0
lim
f(x
) lim
f(x
)
x
2
0
0
2
х
lim f ( x )
x 2
x
2
0
не существует, значит
х = 2 - точка разрыва

15. Точки разрыва функции

3
Функция f(x) определена в точке х0 и в ее окрестности,
существует предела f(x) при x x 0 , но этот предел не
равен значению функции в точке х0 .
lim
f(x) f(x
)
0
x
x
0
y
cos
x
; x
0
y
; x
0
2
2
1
0
х
lim
f(
x
)
lim
f(
x
)
1
x
0
0
x
0
0
f (0) 2
lim
f
(
x
)
lim
f
(
x
)
f
(
0
)
x
0
0
x
0
0
х = 0 -точка разрыва

16. Точки разрыва функции

Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 1 рода функции
f(x) , если в этой точке существуют конечные пределы слева и
справа:
lim
f(x) A
lim
f(x) A
1
x
x0 0
x
x0 0
2
При этом:
а) если A1 A2 , то х0 - точка устранимого разрыва
(в примере 3: х = 0 – точка устранимого разрыва 1 рода)
б) если
A1 A2 , то х0 - точка конечного разрыва
Величину A1 A2 называют скачком функции в точке
разрыва 1 рода.
( в примере 2: х = 2 – точка разрыва 1 рода, скачек функции
равен: 1 0 1)

17. Точки разрыва функции

Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 2 рода функции
f(x) , если по крайней мере один из односторонних пределов не
существует или равен бесконечности.
В примере 1:
1
y
x 2
1
lim
x
2
0
x 2
1
lim
x
2
0
x 2
х = 2 – точка разрыва 2 рода.

18. Основные теоремы о непрерывных функциях

Теорема 1
Сумма, произведение и частное непрерывных функций есть
функция непрерывная (для частного за исключением тех значений
аргумента, где знаменатель равен нулю)
Теорема 2
Пусть функция u = g(x) непрерывна в точке x0, а функция y = f(u)
непрерывна в точке u0 = g(x0). Тогда сложная функция y = f(g(x))
непрерывна в точке x0.
Можно доказать, что все основные элементарные функции
непрерывны при всех значениях х, при которых эти функции
определены.
Поэтому из приведенных выше теорем вытекает: всякая
элементарная функция непрерывна в каждой точке, в
которой она определена.

19. Непрерывность функции в интервале и на отрезке.

Функция y = f(х) называется непрерывной на интервале (a; b),
если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция y = f(х) называется непрерывной на отрезке [a; b], если
она непрерывна на интервале (a; b), и в точке x = a непрерывна
справа:
lim
f(x) f(a
)
x
a
0
а в точке x = b непрерывна слева:
lim
f(x) f(b
)
x
b
0

20. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема (Вейерштрасса)
Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом
отрезке своего наибольшего и наименьшего значения
Теорема (Больцано - Коши)
Если функция y = f(х) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на
его концах неравные значения f(a) = A, f(b) = B, то на этом отрезке
она принимает все значения между A и B.
Следствие
Если функция y = f(х) непрерывна на
отрезке [a; b] и принимает на его концах
значения разных знаков, то внутри отрезка
найдется хотя бы одна точка с, в которой
данная функция обращается в ноль: f(с) = 0
y
0
a
c
b
х