Определение_векторного_пространства,_свойства_АРЗАМАСЦЕВА

1. Определение векторного пространства, свойства. Арифметическое п-мерное пространство Rn

Вариант 1. Арзамасцева Юлия ОФ123/084-5-1 ФМ(б)

2. Определение вектора

• Пусть V — произвольное непустое множество,
элементы которого мы будем называть векторами.
Будем говорить, что:
• на множестве V задана операция сложения, если
любым двум векторам х, у € V поставлен в соответствие
некоторый однозначно определенный вектор z € V,
называемый суммой векторов х и у и обозначаемый
через х + у;
•
на множестве V задана операция умножения
вектора на число, если любому вектору х € V и любому
числу t поставлен в соответствие некоторый однозначно
определенный вектор у € V, называемый произведением
вектора х на число t и обозначаемый через х.

3. Определение векторного пространства

• Векторным (или линейным) пространством
называется произвольное непустое множество V, на
котором заданы операции сложения векторов и
умножения вектора на число, удовлетворяющие
следующим условиям, которые называются аксиомами
векторного пространства:
Замкнутость относительно сложения
Существование нулевого вектора
Существование противоположного вектора
Ассоциативность сложения
Коммутативность сложения
Распределительные законы

4. Аксиомы векторного пространства

5. Свойства векторных пространств

1. Единственность нулевого вектора:
Лемма: Векторное пространство
содержит только один нулевой вектор.
Доказательство. Пусть 0 и О' — два нулевых
вектора векторного пространства V. Тогда из
аксиомы 3) вытекает, что 0' + 0 = 0', а из
аксиом 1) и 3) — что 0' + 0 = 0 + 0' = 0.
Следовательно, 0' = 0.

6. Свойства векторных пространств

2. Единственность противоположного вектора
Лемма: Для всякого вектора х из векторного
пространства существует ровно один
противоположный к нему вектор.
Доказательство. Предположим, что векторы у1 и у2
противоположны к х, т. e. x + у1= x + у2 = 0. Тогда, с
одной стороны, используя аксиомы 1) и
2), имеем
y2 + (x+ y1) = (y2 +x) + у1 = (x+у2) +у1 =0 +у1 = у1 +0
= у1.
С другой стороны у2 + (x + у1) = у2 + 0 = у2.
Следовательно, у1 = у2

7. Свойства векторных пространств

3. 0a=0
4. Если ka=0, то k=0 или a=0
Лемма: пусть х — произвольный вектор из
векторного пространства, а t —
произвольное число. Равенство tx = 0
выполнено тогда и только тогда, когда
либо t = 0, либо х = 0.

8. Дополнительные свойства

9. Арифметическое пространство Rⁿ

Определение. n-мерным координатным
пространством называется совокупность
всех n-мерных векторов, которая
рассматривается с определенными в ней
операциями сложения и умножения на число.
Обозначение: Rⁿ

10. Определения в арифметическом пространстве Rⁿ

• Линейная комбинация — сумма векторов
с коэффициентами
• Линейная зависимость — существование
нетривиальной комбинации, равной нулю
• Базис — максимальная линейно
независимая система векторов

11.

Элементы:
Векторы, представляющие собой