Лекция_04

1.

§ 12. Совместность систем линейных алгебраических уравнений
Рассмотрим линейную систему, в которой число уравнений равно
числу неизвестных:
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2
............................................
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn bn
В матричной форме эта система имеет вид
AX B ,
a11 a12 ... a1n
x1
b1
a a ... a
x
b
2 n ,
A 21 22
X 2 , B 2 .
где
... ... ... ...
...
...
xn
bn
an1 an 2 ... ann
Если B 0 , то систему называют однородной, если B 0 –
неоднородной.
Решением линейной системы называют любой n-компонентный
столбец X, обращающий матричное уравнение системы в равенство.

2.

Линейную систему называют совместной, если у нее существует, по
крайней мере, одно решение. В противном случае систему называют
несовместной. Две системы называют эквивалентными, если множества
их решений совпадают.
~
Расширенной матрицей системы A называют матрицу, полученную
из матрицы A системы дописыванием справа после вертикальной черты
столбца свободных членов.
2x 3y 8
Пример. Найти расширенную матрицу системы
.
x 5 y 9
~
Имеем A 2 3 , A A B 2 3 8 .
1 5
1 5 9
Теорема Кронекера-Капелли. Чтобы линейная
система была
совместной необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был
~
равен рангу расширенной матрицы системы: rang A rang A .
2 x1 x 2 x 3 x 4 1
Пример. При каких значениях система x1 2 x 2 x 3 x 4 2
x1 7 x 2 4 x 3 2 x 4
будет совместной?

3.

Будет решать эту задачу поэтапно.
Шаг
1.
Расширенная
матрица
системы
имеет
вид
~ 2 1 1 1 1
A 1 2 1 1 2 .
1 7 4 2
Шаг 2. Вычитаем из первой строки матрицы умноженную на 2
вторую строку, а из третьей строки вычитаем вторую строку. В
результате получим матрицу
~ 0 5 3 1 3
A 1 2 1 1 2 .
0 5 3 1 2
Шаг 3. Прибавляя к третьей строке первую строку, получим
матрицу:
~ 0 5 3 1 3
A 1 2 1 1 2 .
0 0 0 0 5

4.

Шаг 4. Меняя местами вторую и первую строки системы, получим
матрицу:
~ 1 2 1 1 2
A 0 5 3 1 3 .
0 0 0 0 5
~ 1 8 1 1 2
~ 1 8 2 1 2
~ 1 8 2 9 2
A 0 1 3 1 3 A 0 1 0 1 3 A 0 1 0 0 3
0 0 0 0 5
0 0 0 0 5
0 0 0 0 5
~ 1 0 0 0 2
A 0 1 0 0 3
0 0 0 0 5
Шаг 5. Из рассмотрения этой матрицы следует, что
~ 2, если 5,
rang A 2 , rang A
3, если 5.
~
При 5 (в этом случае rang A rang A 2 ) система совместна
(решение есть), при 5 система несовместна (решений нет).

5.

Глава 2 Аналитическая геометрия
§ 1. Прямая линия на плоскости
Расстояние d между точками A x1 , y1 и B x2 , y2 на плоскости OXY
равно (рис. 2.1)
Y
2
2
y2
B
d x2 x1 y 2 y1 .
y
M
Координаты точки M x, y , делящей отрезок
y1
A
AM
AB в отношении
(рис. 2.1), определяют по
MB
O x1
x x2 X
формулам:
Рисунок 2.1
x x B
y y B
x A
, y A
.
1
1

6.

Пример. Координаты вершин треугольника ABC равны A 1;1 ,
B 2;4 , C 4;2 . Найти длину медианы АМ, опущенной из вершины А на
сторону BC.
Медиана, опущенная из вершины A, делит противоположную
сторону BC треугольника ABC на две равновеликие части.
Следовательно 1 и координаты точки M равны
x B xC 2 4
y B yC 4 2
xM
3, y M
3,
2
2
2
2
а длина медианы AM равна
AM x M x A y M y A 3 1 3 1 2 2 .
Уравнение
прямой
линии
с
угловым
Y
коэффициентом имеет вид:
y kx b ,
b
где k tg – угловой коэффициент прямой, – угол
O
X
наклона прямой к оси OX, b отрезок, отсекаемый
Рисунок 2.2
прямой на оси OY (рис. 2.2).
2
2
2
2

7.

Общее уравнение прямой линии имеет вид:
Y
Ax By C 0 ,
B
где A, B, C – числовые коэффициенты. Можно
показать, что вектор N A, B перпендикулярен O
к прямой линии Ax By C 0 (рис. 2.3).
Ax+By+C=0
N
A
X
Рисунок 2.3
Уравнение прямой линии в отрезках имеет вид:
Y
x y
b
1,
a b
где a и b – величины отрезков, отсекаемых прямой линией O a X
соответственно на осях OX и OY (рис. 2.4).
Рисунок 2.4
Угол , отсчитанный против хода часовой стрелки от прямой
линии y k1 x b1 до прямой линии y k2 x b2 (рис. Y y=k2x2+b2
2.5), определяют по формуле
k k1
y=k1x1+b1
.
arctg 2
1 k1 k 2
O
X
Рисунок 2.5

8.

Угол между двумя прямыми линиями, заданными уравнениями
A1 x B1 y C1 0 и A2 x B2 y C2 0 , определяют по формуле
A1 B2 A2 B1
.
arctg
A1 A2 B1 B2
Условие параллельности двух прямых линий имеет вид:
A B
k1 k 2 или 1 1 .
A2 B2
Условие перпендикулярности двух прямых линий имеет вид:
1
k1
или A1 A2 B1B2 0 .
k2
Уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку
M x0 , y 0 , имеет вид:
y y 0 k ( x x0 ) .
Уравнение прямой линии, проходящей через две данные точки
A x1 , y1 и B x2 , y 2 , имеет вид
x x1
y y1
.
x2 x1 y2 y1

9.

Пример. Найти общее уравнение прямой линии, проходящей через
точки A 2;3 и B 2; 5 .
Подставляя координаты точек A и B в уравнение прямой линии,
проходящей через две заданные точки, получим
x 2
y 3
x 2 y 3
или
.
2 2 5 3
4
8
Следовательно, искомое общее уравнение прямой линии имеет вид
2x y 1 0 .
Расстояние
от
точки
M 0 x0 , y 0
до
прямой
линии
Ax By C 0 (рис. 2.6) определяют по формуле
Y
Ax+By+C=0
Ax0 By0 C
.
d
d
2
2
A B
y0 M
0
O x0
X
Рисунок 2.6

10.

Нормальное уравнение прямой линии имеет вид:
Y
x cos y sin p 0 ,
p
где p – длина перпендикуляра, опущенного из начала
координат на прямую линию, – угол наклона
O
X
перпендикуляра к оси OX (рис. 2.7).
Рисунок 2.7