Аналитическая геометрия. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая линия на плоскости

1.

2.

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
3.1 Линии на плоскости и их уравнения
3.2 Прямая линия на плоскости
3.3 Кривые второго порядка
3.4 Уравнение поверхности и уравнения линии в
пространстве
3.5 Плоскость
3.6 Прямая линия в пространстве
3.7 Взаимное расположение прямой и плоскости

3.

3.1 ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ И ИХ УРАВНЕНИЯ
Уравнение вида F x; y 0 называется уравнением линии L в
декартовой системе координат Oxy, если:
1) координаты х и у любой точки М(х;у) L удовлетворяют этому
уравнению,
2) координаты х и у любой точки N(х;у) L не удовлетворяют ему.
М(х;у) - текущая точка линии L
х и у - текущие координаты
Пусть заданы две линии
L1 : F1 x; y 0 и L2 : F2 x; y 0.
Их точки пересечения можно найти,
решив систему уравнений:
F1 x; y 0,
F2 x; y 0
Если эта система не имеет действительных решений, то линии не
пересекаются.

4.

3.1 ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ И ИХ УРАВНЕНИЯ
Примеры
Задана линия L : 2 x 3 xy 1 0.
Лежат ли точки А(2;2) и В(1;1) на этой линии?
2
A 2; 2 : 2 2 2 3 2 2 1 8 12 1 3 0
B 1;1 : 2 12 3 1 1 1 2 3 1 0
Получили:
A 2; 2 L, B 1;1 L.

5.

3.1 ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ И ИХ УРАВНЕНИЯ
Примеры
Найти точки пересечений двух линий
L1 : x 2 y 4 0 и L2 : 4x y 8 0.
x2 y 4 0
4x y 8 0
Выразим у из второго:
y 4x 8
y 4 2 8 0
Сложим оба уравнения:
x 2 y 4 4x y 8 0
x 2 4x 4 0
2
x
2
0
x 2
Получили одну точку пересечения:
K 2;0 .

6.

3.1 ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ И ИХ УРАВНЕНИЯ
Линия L на плоскости задана параметрическими уравнениями, если
текущие координаты х и у точек линии выражены через
вспомогательный параметр t, т. е.
x x t
L:
t ;
y y t
Пример
Уравнение окружности с заданным центром и заданным радиусом в
декартовой системе координат имеет вид
x x0 y y0 R 2 , где M 0 x0 ; y0 центр, R радиус.
2
2
Тогда параметрические уравнения окружности
x x0 R cos t
t 0;2
y y0 R sin t

7.

3.2 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Задача 1
y
n
Вывести уравнение прямой L, проходящей через
заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.
M
M0
Дано:
x
Найти: L
O
L
M x; y L
M 0 x0 ; y0 L, n A; B L
Решение:
M 0 M x x0 ; y y0
n M 0 M критерий перпендикулярности векторов n M 0 M 0
A x x0 B y y0 0
Ax Ax0 By By0 0
Ax By Ax0 By0 0
Пусть
– текущая точка, тогда
общее уравнение прямой
C
Ax By C 0
n A; B – нормальный вектор

8.

3.2 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Замечание
Ax By C 0
C
1) A 0 By C 0 y
B
C
2) B 0 Ax C 0 x
A
A
3) C 0 Ax By 0 y x
B
4) A C 0 By 0 y 0
уравнение
горизонтальной прямой
уравнение
вертикальной прямой
уравнение прямой, проходящей
через начало координат
y
уравнение оси Ох
5) B C 0 Ax 0 x 0
уравнение оси Оу
x
O

9.

3.2 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Замечание
Ax By C 0
Из этого уравнения выразим у:
A
C
By Ax C y x
B
B
A
C
Пусть k , b , тогда
B
B
y kx b
Здесь k – тангенс угла наклона прямой
к положительному направлению оси Ох,
b – ордината точки пересечения прямой и
оси Оу.
уравнение прямой с
угловым коэффициентом
Для составления уравнения прямой по заданному углу и любой
точке
M 0 x0 ; y0 , лежащей на прямой, используют формулу:
y y0 tg x x0

10.

3.2 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Задача 2
y
s
M
M0
x
O
L
Пусть
M x; y L
Вывести уравнение прямой L, проходящей через
заданную точку, параллельно заданному вектору.
Дано:
M 0 x0 ; y0 L, s sx ; s y L
Найти: L
Решение:
– текущая точка, тогда
M 0 M x x0 ; y y0
их координаты пропорциональны
x x0 y y0
sx
sy
каноническое уравнение прямой
s s x ; s y
– направляющий вектор

11.

3.2 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Замечание
x x0 y y0
t
sx
sy
Пусть коэффициент пропорциональности равен t, тогда
x x0
s t
x
y y0 t
s y
x x0 t sx
y y0 t s y
x x0 t sx
y y0 t s y
t ;
параметрические уравнения прямой

12.

3.2 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Задача 3
y
M
M1
L
x
O M2
Вывести уравнение прямой L, проходящей через две
заданные точки.
Дано:
M 1 x1; y1 L, M 2 x2 ; y2 L
Найти: L
Решение:
M 1M 2 x2 x1; y2 y1
Пусть
M x; y L
– текущая точка, тогда
M 1M x x1; y y1
их координаты пропорциональны
x x1
y y1
x2 x1 y2 y1
уравнение прямой, проходящей
через две заданные точки

13.

3.2 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
y
Замечание
B
x x1
y y1
x2 x1 y2 y1
b
x
A
O
L
a
Пусть заданные точки расположены на осях координат, т. е. отсекают на
осях заданные отрезки,
Тогда координаты этих точек: A a;0 , B 0; b .
x a y 0
0 a b 0
xb ab ay
x y
1
a b
x a y
a
b
xb ay ab
x a b ay
xb ay ab
ab ab ab
уравнение прямой в отрезках

14.

3.2 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Обобщение
Мы получили несколько типов (форм записи) уравнений прямой на
плоскости, которые отличаются по внешнему виду:
1) общее уравнение,
2) уравнение с угловым коэффициентом,
3) каноническое уравнение,
4) параметрические уравнения,
5) уравнение прямой, проходящей через две точки,
6) уравнение прямой в отрезках.
Очевидно, что с помощью алгебраических преобразований можно легко
перейти от одной формы записи к другой.
Таким образом можно утверждать, что любой способ определения
прямой линии на плоскости приводит к уравнению первой степени
относительно х и (или) у.
Ax By C 0
( числа А и В одновременно не могут быть равны нулю)

15.

3.2 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Указания к составлению уравнений прямой на плоскости
Дано
Точка и перпендикулярный вектор
Точка и параллельный вектор
Две точки
Выбор формулы
A x x0 B y y0 0
x x0 y y0
sx
sy
x x1
y y1
x2 x1 y2 y1

16.

3.2 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Взаимное расположение прямых на плоскости
Рассмотрим две прямые, заданные общими уравнениями,
и соответствующие им нормальные векторы:
L1 : A1 x B1 y C1 0
L2 : A2 x B2 y C2 0
n1 A1; B1 L1
n2 A2 ; B2 L2
1
Параллельность прямых
2
Совпадение прямых
A1 B1
A2 B2
A1 B1 C1
A2 B2 C2
3
Перпендикулярность прямых
L1 L2 n1 n2 n1 n2 0 A1 A2 B1B2 0

17.

3.2 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Взаимное расположение прямых на плоскости
4
Угол между прямыми
cos L1; L2 cos n1; n2
L1; L2 arccos
5
n1 n2
n1 n2
A1 A2 B1B2
A B A B
2
1
2
1
2
2
2
2
A1 A2 B1B2
A12 B12 A22 B22
Пересечение прямых
L2
A1 x B1 y C1 0
K xk ; yk :
A2 x B2 y C2 0
K
L1

18.

Лекция выложена впервые.
Если Вы заметили ошибку, то сообщите мне на эл. почту.