Лекция 06. Основные понятия проективной геометрии (продолжение)

1.

Основные понятия
проективной геометрии
(продолжение)

2.

1. Некоторые
воспоминания
2

3.

Евклидова
плоскость
Аффинная
плоскость
Проективная
плоскость
3

4.

Евклидова
плоскость
Евклидова
геометрия
Аффинная
плоскость
Аффинная
геометрия
Проективная
плоскость
Проективная
геометрия
4

5.

Проективные свойства
(инварианты)
5

6.

Проективные свойства
(инварианты)
инцидентность
коллинеарность
конкуррентность
6

7.

2. Принцип
двойственности
7

8.

Взаимно-двойственные элементы
точка
прямая
8

9.

Взаимно-двойственные элементы
точка
прямая
Взаимно-двойственные операции
провести прямую через точку
отметить точку на прямой
9

10.

Пример замены «точка ↔ прямая»
Через две различные
точки можно
провести
единственную
прямую
10

11.

Пример замены «точка ↔ прямая»
Через две различные
точки можно
провести
единственную
прямую
Через две различные
прямые можно
провести
единственную
точку
11

12.

Пример замены «точка ↔ прямая»
Через две различные
точки можно
провести
единственную
прямую
Через две различные
прямые можно
провести
единственную
точку
Две различные
точки
инцидентны
единственной прямой
12

13.

Пример замены «точка ↔ прямая»
Через две различные
точки можно
провести
единственную
прямую
Через две различные
прямые можно
провести
единственную
точку
Две различные
точки
инцидентны
единственной прямой
Две различные
прямые
инцидентны
единственной точке
13

14.

Пример замены «точка ↔ прямая»
Через две различные
точки можно
провести
единственную
прямую
Через две различные
прямые можно
провести
единственную
точку
Две различные
точки
инцидентны
единственной прямой
Две различные
прямые
инцидентны
единственной точке
14

15.

Принцип двойственности
Из каждого проективного предложения
относительно точек и прямых на плоскости
может быть получено второе предложение
путём замены
слова «точка» словом «прямая»
и наоборот.
Жан Виктор Понселе
офицер инженерного корпуса.
Написано в г.Саратове
в 1812-1815 г.г.
15

16.

Принцип двойственности
Две фигуры взаимно
двойственны,
если одна может быть
получена из другой
посредством замены
каждого элемента и
каждой операции
двойственным элементом
и двойственной
операцией.
16

17.

Принцип двойственности
Две теоремы взаимно
двойственны,
если одна превращается в
другую
при замене каждого
элемента
и каждой операции
двойственным элементом
и двойственной
операцией.
17

18.

Принцип двойственности
Явление двойственности
резко отличает
проективную геометрию
от элементарной
(метрической),
в которой никакой
двойственности не
наблюдается.
18

19.

Принцип двойственности
Явление двойственности
резко отличает
проективную геометрию
от элементарной
(метрической),
в которой никакой
двойственности не
наблюдается.
Например, бессмысленно
искать какое-нибудь
19

20.

Принцип двойственности
Каждой верной теореме
проективной геометрии
сопоставляется
двойственная ей,
также верная теорема.
20

21.

Принцип двойственности
Каждой верной теореме
проективной геометрии
сопоставляется
двойственная ей,
также верная теорема.
Следствие. Двойственную
теорему
можно не
доказывать.
21

22.

Перспективность относительно точки
Есть две конфигурации из
точек
(могут быть и проходящие
через них прямые).
22

23.

Перспективность относительно точки
Есть две конфигурации из
точек
(могут быть и проходящие
через них прямые).
Соединим
соответствующие точки
прямыми попарно.
23

24.

Перспективность относительно точки
Есть две конфигурации из
точек
(могут быть и проходящие
через них прямые).
Соединим
соответствующие точки
прямыми попарно.
Если эти прямые
24

25.

Перспективность относительно прямой
Есть две конфигурации из
прямых
(могут быть выделены
точки их пересечения).
25

26.

Перспективность относительно прямой
Есть две конфигурации из
прямых
(могут быть выделены
точки их пересечения).
Выделим точки
пересечения
соответствующих прямых.
26

27.

Перспективность относительно прямой
Есть две конфигурации из
прямых
(могут быть выделены
точки их пересечения).
Выделим точки
пересечения
соответствующих прямых.
Если эти точки лежат на
27

28. Экзотические случаи

Ось
перспек
тивы –
несобст
Ось
перспект
ивы –
светлая
28

29.

Пример. Теорема Дезарга
Если два треугольника
перспективны
относительно точки, то
три точки пересечения
соответствующих
их сторон
коллинеарны.
29

30.

Пример. Теорема Дезарга
Если два треугольника
перспективны
относительно точки, то
три точки пересечения
соответствующих
их сторон
коллинеарны.
Если два треугольника
перспективны
относительно прямой, то
три прямые, проходящие
через соответствующие
их вершины
конкуррентны.
30

31.

Пример. Теорема Дезарга
Если два треугольника
перспективны
относительно точки, то
три точки пересечения
соответствующих
их сторон
коллинеарны.
Если два треугольника
перспективны
относительно прямой, то
три прямые, проходящие
через соответствующие
их вершины
конкуррентны.
31

32.

Пример. Теорема Дезарга
Если два треугольника
перспективны
относительно точки,
то они перспективны и
относительно прямой.
32

33.

Пример. Теорема Дезарга
Если два треугольника Если два треугольника
перспективны
перспективны
относительно точки,
относительно прямой,
то они перспективны и то они перспективны и
относительно прямой.
относительно точки.
33

34.

Вспомогательные теоремы
34

35.

Теорема Чевы
( )
35

36.

Теорема Чевы
Если три
чевианы
AX, BY, CZ
треуголь
ника ABC
конкурре
нтны,
то
выполняе
тся
соотноше
( )
36

37.

Теорема Чевы
Если три
чевианы
AX, BY, CZ
треуголь
ника ABC
конкурре
нтны,
то
Если три чевианы
выполняе
AX, BY, CZ
тся
треугольника ABC
соотноше
удовлетворяют
( )
37

38.

Теорема Менелая
( )
38

39.

Теорема Менелая
Если
точки
X, Y, Z,
лежащие
на
сторонах
BC, CA, AB
треуголь
ника ABC
коллинеа
рны,
то
( )
39

40.

Теорема Менелая
Если
точки
X, Y, Z,
лежащие
на
( )
сторонах
BC, CA, AB
треуголь
ника ABC
Если
соотношению ( )
коллинеа
рны,
выполняется для точек X, Y,
то
Z,
лежащих на трёх
40

41.

Резюме
Теорема Чевы – критерий
конкуррентности.
Теорема Менелая –
критерий
коллинеарности.
41

42.

Домашнее задание
Доказать теоремы
Чевы и Менелая
(прямую и обратную).
42

43.

Теорема Чевы (доказательство)
P
43

44.

Теорема Чевы (доказательство)
Площади
треугольников
с равными
высотами
пропорциональ
ны основаниям
треугольников:
P
44

45.

Теорема Чевы (доказательство)
Площади
треугольников
с равными
высотами
пропорциональ
ны основаниям
BX
SABX SPBX
треугольников:
XC S
S
AXC
P
PXC
45

46.

Теорема Чевы (доказательство)
Площади
треугольников
с равными
высотами
пропорциональ
ны основаниям
BX
SABX SPBX
треугольников:
XC S
S
AXC
P
PXC
SABX SPBX SAPB
.
SAXC SPXC SAPC
46

47.

Теорема Чевы (доказательство)
Площади
треугольников
с равными
высотами
пропорциональ
ны основаниям
BX
SABX SPBX
треугольников:
XC S
S
AXC
P
PXC
SABX SPBX SAPB
.
SAXC SPXC SAPC
Аналог
SBPC
AZ
CYично:
YA
SBPA
;
SCPA
.
ZB SCPB
47

48.

Теорема Чевы (доказательство)
Площади
треугольников
с равными
высотами
пропорциональ
ны основаниям
BX
SABX SPBX
треугольников:
XC S
S
AXC
P
PXC
SABX SPBX SAPB
.
SAXC SPXC SAPC
BX CY AZ
XC YA ZB
Аналог
SBPC
AZ
CYично:
YA
SBPA
;
SCPA
.
ZB SCPB
48

49.

Теорема Чевы (доказательство)
Площади
треугольников
с равными
высотами
пропорциональ
ны основаниям
BX
SABX SPBX
треугольников:
XC S
S
AXC
PXC
SABX SPBX SAPB
.
SAXC SPXC SAPC
Аналог
SBPC
AZ
CYично:
YA
SBPA
P
;
SCPA
.
ZB SCPB
BX CY AZ
XC YA ZB
SAPB SBPC SCPA
SAPC SBPA SCPB
49

50.

Теорема Чевы (доказательство)
Площади
треугольников
с равными
высотами
пропорциональ
ны основаниям
BX
SABX SPBX
треугольников:
XC S
S
AXC
PXC
SABX SPBX SAPB
.
SAXC SPXC SAPC
Аналог
SBPC
AZ
CYично:
YA
SBPA
P
;
SCPA
.
ZB SCPB
BX CY AZ
XC YA ZB
SAPB
SAPC
SBPC
SBPA
SCPA
SCPB
50
1.

51.

Теорема Чевы (доказательство)
P
51

52.

Теорема Чевы (доказательство)
Пусть AX и BY
пересекаются в
т.P.
Z'
P
Третья Чевиана
– CZ'.
52

53.

Теорема Чевы (доказательство)
Пусть AX и BY
пересекаются в
т.P.
Z'
P
Третья Чевиана
– CZ'. по прямой
Тогда,
теореме:
BX CY AZ
1
XC YA Z B
53

54.

Теорема Чевы (доказательство)
Пусть AX и BY
пересекаются в
т.P.
Z'
P
Третья Чевиана
– CZ'. по прямой
Тогда,
теореме:
BX CY AZ
1
XC YA Z B
А по предположению:
BX CY AZ
1
XC YA ZB
54

55.

Теорема Чевы (доказательство)
Пусть AX и BY
пересекаются в
т.P.
Z'
P
Третья Чевиана
– CZ'. по прямой
Тогда,
теореме:
BX CY AZ
1
XC YA Z B
А по предположению:
AZ AZ
Z B ZB
BX CY AZ
1
XC YA ZB
55

56.

Теорема Менелая (доказательство)
56

57.

Теорема Менелая (доказательство)
h1
h2
h3
57

58.

Теорема Менелая (доказательство)
BX h2
;
XC h3
CY h3
;
YA h1
h1
h2
h3
AZ h1
.
ZB h2
58

59.

Теорема Менелая (доказательство)
BX h2
;
XC h3
CY h3
;
YA h1
h1
h2
h3
AZ h1
.
ZB h2
Перемножим:
BX CY AZ h2 h3 h1
1
XC YA ZB h3 h1 h2
59

60.

Теорема Менелая (доказательство)
60

61.

Теорема Менелая (доказательство)
Пусть AB и XY
пересекаются в Z'.
Z'
61

62.

Теорема Менелая (доказательство)
Пусть AB и XY
пересекаются в Z'.
Тогда по прямой
теореме:
Z'
BX CY AZ
1
XC YA Z B
62

63.

Теорема Менелая (доказательство)
Пусть AB и XY
пересекаются в Z'.
Тогда по прямой
теореме:
Z'
BX CY AZ
1
XC YA Z B
А по предположению:
BX CY AZ
1
XC YA ZB
63

64.

Теорема Менелая (доказательство)
Пусть AB и XY
пересекаются в Z'.
Тогда по прямой
теореме:
Z'
BX CY AZ
1
XC YA Z B
А по предположению:
AZ AZ
Z B ZB
BX CY AZ
1
XC YA ZB
64