3сем_Лк 10_Знакочеред ряд_,Т(Лейбница)

1.

Первое высшее техническое учебное заведение России
Санкт-Петербургский горный университет императрицы Екатерины II
Лекция 2
ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ
РЯДЫ
04.12.2025
г. Санкт-Петербург
2025
1/11

2.

Знакочередующийся ряд:
a1 a2 a3 … ( 1)
n 1
an …=
( 1)
n 1
Теорема (признак Лейбница).
Если {an } монотонно
убывая стремится к 0:
n 1
an
n N a n 0
lim an 0 an 1 an знакочередующийся
n
ряд сходится
Частичная сумма S2n
:
S2n = (a1 a 2 ) ( a 3 a 4 ) +… ( a 2 n 1 a 2 n ) S2n >0 S2n возрастает с
увеличением n
>0
>0
>0
S2n = a1 ( a 2 a 3 ) … (a 2 n 2 a 2 n 1 ) a
>0
>0
S2n – возрастает и огр. сверху
2|11
2n
>0
lim S 2 n s
n
S2n < a1

3.

Для суммы 2n+1 членов:
S2n+1 = S2n + a2n+1
lim S 2 n 1 s
n
lim S 2 n s
lim S n s ( 1) a n s
n
1 a
k
k n 1
n
0
s
n
Оценим остаток Rn
Rn
lim S 2 n 1 s
k
n 1
n 1
Ряд
сходится
S 2 n a1 lim S 2n s a1
n
погрешность при замене s на Sn
a n 1 не превышает по абсолютной величине
первого из отбрасываемых членов ряда
3|11

4.

n 1
Знакопеременный ряд
a n называют знакопеременным, если среди его членов
имеются как положительные, так и отрицательные члены
т.е. аn произвольно меняют знаки
( 1) n 1 an
частный случай знакопеременного ряда
n 1
знакопеременные
ряды cos n cos
cos 2 cos 3
…
2
2
2
2
n
3
1
2
n 1
sin sin 2 sin 3
sin n
…
2
n
3
3
3
3
3
n 1
4|10
0

5.

Ряд, составленный из
абсолютных величин
членов
(2)
a n a1 a 2 … a n +…
n 1
Знакопеременны
й ряд
(1
)
a
n 1
n
Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
Если сходится ряд (2), то ряд (1) также сходится
Доказательство
n 1
n:
0 an an 2 an
Пусть an an bn 0
2a
a n – сходится
n 1
n
сходится по
– сходится
bn признаку
n 1
сравнения
разность
an bn an сходящихся
рядов
a b a
n 1
5|10
n
n
n 1
n 1
n
– сходится

6.

Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда
a называется абсолютно сходящимся
n 1
n
если сходится ряд, составленный из
абсолютных величин его членов
a .
n 1
n
a называется условно (неабсолютно) сходящимся
n 1
n
если он сходится, а ряд, из
абсолютных величин расходится
Любой абсолютно
сходящийся ряд есть ряд
сходящийся
a – сходится a – сходится
n
n 1
n 1
6|10
n

7.

Исследование на абсолютную сходимость
a
Ряд с
положительными
членами
n
n 1
Достаточные признаки
сходимости (сравнения,
Даламбера и Коши)
Замечание.
В общем случае, из расходимости
a
n
a.
не следует расходимость ряда
n 1
n 1
Если по признакам Даламбера или Коши
установлена расходимость
a
n 1
n
an 1
lim
1 или lim n | an | 1
n
n a
n
7|10
a расходится
n
n 1
n

8.

Исследовать на сходимость:
1
n 1
n
1
2
n
n
1
2n 1
n 1
3n 1
n
1
1
ln n
n 2
n
8|10

9.

Спасибо за внимание
Санкт-Петербургский горный
университет
императрицы Екатерины II,
199106, г. Санкт-Петербург,
Малый пр. В.О., д. 83
Тел.: +7(812) 328-82-98;
10|10