Производная 1.Таблица производных.Решение примеров

1.

Определение
производной
Механический и
геометрический смысл
производной

2.

Точка движется по прямой по закону s(t) = f (t)
Её мгновенной скоростью v в момент времени t
называют предел (если он существует), к
которому стремится её средняя скорость на
промежутке времени [t; t + Δt] при Δ t → 0 :
f
lim
.
v =Δlim
v
=
ср
t→0
Δ t → 0 t
Величина Δ t – приращение времени
Величина Δ f = f(t + Δt) – f(t) - приращение пути
f
v = Δlim
.
t→0
t

3.

Величина y(x) – y(x0)
называется приращением функции
в точке x0 и обозначается ∆y(x0) .
y x0 y x0 x y x0

4.

Таким образом, чтобы вычислить
приращение функции f(x) при переходе от
точки x0 к точке x = x0 + Δx , нужно:
1. найти значение функции f(x0);
2. найти значение функции f(x0 + Δx)
3. найти разность f(x0 + Δx) – f(x0)

5.

В математике операция нахождения предела
отношения приращения функции Δ f к
приращению аргумента Δ x , при условии, что
приращение Δ x → 0 называется -
дифференцирование функции
Результат выполнения называют
производной и обозначают: f x
f
f '(x)= lim
.
Δ х → 0 х

6.

Определение производной
Производной функции в точке x
называется предел отношения приращения
функции в этой точке (∆f) к
соответствующему приращению аргумента
(∆x), когда приращение аргумента
стремится к нулю

7.

Определение производной
Производной функции f ( x) в точке х0
называется число, к которому стремится
f
отношение
при х 0.
x

8.

Чтобы найти производную функции в
точке, надо:
1. найти приращение функции в точке Х0
;
2. найти отношение приращения функции к
приращению аргумента;
3. вычислить предел полученного отношения
при условии, что приращение аргумента
стремится к нулю.

9.

Пример нахождения производной по определению
Дано : f ( x ) x 2 1.производной
Нати f ( x ).
f x0 х02 1
Δ