Презентаци касательная

1. Касательная и Производная Лекция №2

КАСАТЕЛЬНАЯ И
ПРОИЗВОДНАЯ
ЛЕКЦИЯ №2
Преподаватель Бабакина Е.П.

2. Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ,
СЕКУЩАЯ И ХОРДА — В ЧЕМ
РАЗНИЦА
В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая
не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на
рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра
отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

3.

4.

5. Свойства касательной к окружности

СВОЙСТВА КАСАТЕЛЬНОЙ К
ОКРУЖНОСТИ
Свойства касательной к окружности:
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны.
Эти отрезки составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр
окружности.
Примеры:
Радиус, проведённый в точку касания, всегда будет перпендикулярен касательной.
Касательные от одной точки к окружности всегда равны по длине.
Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения
задач

6.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.
Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:
окружность с центральной точкой А;
прямая а — касательная к ней;
радиус АВ, проведенный к касательной.
Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.
Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и
проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.
В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее
перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша
прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше
радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку
касания.
Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет
вовсе не АС, а АВ.

7.

Задача
У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из
точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А.
Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.
Решение:
Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.
Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не
составит труда найти величину и третьего угла.
∠АОС = 180° - ∠САО - ∠АСО = 180° - 90° - 28° = 62°
Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно
вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен
дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.
Ответ: АВ = 62°.

8.

Если провести две касательных к окружности из одной
точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от
этой начальной точки до точки касания будут равны.
Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть
окружность с центром А, давайте проведем к ней две
касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и
CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.
Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну
прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас
получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы
уже знаем, что касательная и радиус к ней
перпендикулярны, углы ABD и ACDдолжны быть равны
90°.

9.

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD.
Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что
катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины.
Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся
катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности),
аналогично равны.
Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в
нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

10.

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9
см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите
градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.
Решение
Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с
радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас
есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы,
определим величину ∠BDA.
∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив
катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).
Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между
касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:
∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°
Итак, угол между касательными составляет 60°.

11.

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN.
Известно, что ∠МКNравен 50°. Требуется определить
величину угла ∠NМК.
Решение
Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN.
Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.
Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.
∠МNК = (180° - ∠МКN) : 2 = (180° - 50°) : 2 = 65°

12.

Соотношение между касательной и секущей: если они
проведены к окружности из одной точки, лежащей вне
окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен
произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.
Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше
записать в виде уравнения.
Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами
касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки
пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC —
внешней частью секущей.
AB2 = AD × AC

13.

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть
одна из них будет касательной МA, а вторая —
секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей
секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной
к окружности МA.
Решение
Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ
× МС.
Найдем длину внешней части секущей:
МС = МВ - ВС = 16 - 12 = 4 (см)
МА2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64
МА = √ 64= 8 (см)

14.

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые —
касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр
окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить
длину отрезка МO.
Решение
Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.
В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.
Поскольку МВ = 2 МА, значит:
МА = МВ : 2 = (у + R) : 2
Согласно теореме о касательной и секущей, МА2 = МВ × МС.
Значит:
(у + R)2 : 4 = (у + R) × (у - R)
Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:
(у + R) : 4 = (у - R)
у = 5R : 3
Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

15.

Угол между хордой и касательной,
проходящей через конец хорды, равен
половине дуги, расположенной между ними.
Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на
примере: допустим, у нас есть касательная к
окружности, точка касания В и проведенная из
нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой
точку C, чтобы получился угол AВC.
∠АВС = ½ АВ

16.

Задача 1
Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет
32°. Найдите градусную величину дуги между касательной
и хордой.
Решение
Согласно свойствам угла между касательной и
хордой, ∠АВС = ½ АВ.
АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

17.

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки
проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.
Решение
Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:
КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°
Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что
треугольник ОMK равнобедренный.
∠ОКМ = ∠ОМК = (180° - ∠КОМ) : 2
Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:
∠КОМ = КМ = 168°
∠ОМК = (180° - ∠КОМ) : 2 = (180° - 168°) : 2 = 6°

18. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ