09.12 МЕДИАНЫ, БИССЕКТРИСЫ И ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА

1. МЕДИАНЫ, БИССЕКТРИСЫ И ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА

2. Перпендикуляр к прямой

А а, АН а
Отрезок АН называется
перпендикуляром,
проведенным из точки
А к прямой а, если
прямые АН и а
перпендикулярны.

3. Теорема о перпендикуляре

Из точки, не лежащей
на прямой, можно
провести
перпендикуляр к этой
прямой, и притом
только один.

4.

5. Медиана треугольника

Отрезок,
соединяющий
вершину треугольника
с серединой
противоположной
стороны, называется
медианой
треугольника.
АМ – медиана треугольника
СМ = МВ

6. Медиана треугольника

Медиана-обезьяна,
У которой зоркий глаз,
Прыгнет точно в середину
Стороны против вершины,
Где находится сейчас

7.

B
A
C

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17. Биссектриса треугольника

СAА = ВАА
Отрезок биссектрисы
угла треугольника,
соединяющий вершину
треугольника с точкой
противоположной
стороны, называется
биссектрисой
треугольника.
АА1 – биссектриса треугольника

18. Биссектриса треугольника

Биссектриса – это крыса,
Которая бегает по углам
И делит угол пополам.

19.

20.

B
A
C

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29. Решите задачу

30. Высота треугольника

АН СВ
Перпендикуляр,
проведенный из
вершины
треугольника к
прямой, содержащей
противоположную
сторону, называется
высотой
треугольника.
АН – высота треугольника

31. Высота треугольника

Высота похожа на
кота,
Который, выгнув спину,
И под прямым углом
Соединит вершину

32.

А
С
В

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40. Найдите медианы, биссектрисы и высоты

41.

42. Медианы в треугольнике

В любом треугольнике
медианы пересекаются
в одной точке.
Точку пересечения
медиан (в физике)
принято называть
центром тяжести.

43. Биссектрисы в треугольнике

В любом треугольнике
биссектрисы
пересекаются в одной
точке.
Точка пересечения
биссектрис
треугольника есть
центр вписанной в
треугольник
окружности.

44. Высоты в треугольнике

В любом треугольнике
высоты или их
продолжения
пересекаются в одной
точке.
Точку пересечения
высот называют
ортоцентром.

45.

Замечательное свойство
В любом треугольнике медианы, биссектрисы,
высоты или продолжения высот пересекаются
в одной точке.

46. Задача на доказательство

47. Выбери верные утверждения

48. Реши задачу

49. Реши задачу

50. Задача 1

В треугольнике ABC проведены биссектрисы
AD и BM, которые пересекаются в точке O.
Найдите углы треугольника ABO, если
∠BAC = 50°, ∠ABC = 80°

51. Задача 2

В треугольнике COD: ∠O = 90°. Найдите ∠МОВ,
если ОА – биссектриса угла ∠СОM, при
этом ∠COА = 20°, а ВО– биссектриса ∠МОD.

52. Задача 3

На рисунке изображён ∆MOC: MP – высота и
биссектриса треугольника MOC. ∠OMP = 25°
∠OMС =
∠РMС =
∠MРО =

53. Задача 4

На рисунке
изображён ∆АBС, в
нём СD и AK – медианы.
AB = 6 см, BC = 7 см,
AC = 1,3AB.
Заполните пропуски в таблице.
Отрезки
ВD
BK
AC
Длина отрезков

54. Задача 5

На рисунке изображён ∆QRP, ОR – медиана
∆QRP, при этом OP = 5 см. Чему равна сторона
QP?

55. Задача 6

BM – медиана ∆ABC – равна 8 см, AC = 10 см,
BC = 1,2 ВМ. Найдите периметр ∆BMC.

56. Задача 7

На рисунке изображён ∆QRP, в нем RO –
высота и медиана треугольника QRP,
сторона QR = RP = 1,4QO. Укажите, чему
равна сторона RP, если сторона QP = 12 см.

57. Домашнее задание