ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ_ФОРМУЛА_БЕССЕЛЯ

1. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА БЕССЕЛЯ

Выполнили студенты:
3 курса, ПОВТ-23 Д
Пархоменко М.И
Твердохлебов А.В

2.

Фридрих Вильгельм Бессель (1784–1846)
Фридрих Вильгельм Бессель — выдающийся немецкий
астроном и математик, который, работая с астрономическими
наблюдениями и расчетами, разработал несколько методов
интерполяции, включая Формулу Бесселя (для интерполяции в
середине интервала), основанную на его наблюдениях и
необходимости точного вычисления средних значений, а также
метод наименьших квадратов для астрономических измерений,
что сделало его ключевой фигурой в астрономии и
математике, особенно в области сферической тригонометрии
и анализа данных.

3.

История создания интерполяционной формулы Бесселя:
Проблема: Бессель, как астроном, постоянно сталкивался с необходимостью
точного вычисления промежуточных значений (например, положений звезд) из
дискретных наблюдений и таблиц, где данные имелись только в определенных точках.
Потребность в точности: Стандартные методы интерполяции не всегда давали
нужную точность, особенно для задач, связанных с астрономическими расчетами орбит
и движений.
Развитие метода: Бессель, опираясь на работы Ньютона и Стирлинга, разработал
свою формулу, которая была особенно эффективна для интерполяции в середине
интервала используя значения функции и её производных в ближайших точках.
Вклад в астрономию: Помимо интерполяции, он известен открытием годичного
параллакса звёзд (что позволило измерить расстояние до них) и исследованиями
формы Земли.
Ключевые особенности формулы Бесселя:
Предназначена для точного нахождения значения функции в середине интервала, используя
табличные значения.
Использует центральные разности и является улучшением формулы Стирлинга,
обеспечивая высокую точность для средних точек.

4.

Что такое интерполяция
Интерполяция – это метод аппроксимации данных, при
котором между известными точками вставляются
промежуточные значения. Она позволяет сглаживать
функции и предсказывать неизвестные данные на
основе имеющихся точек. В контексте математического
анализа, интерполяция используется для построения
гладких кривых через заданные точки, сохраняя при этом
локальные особенности исходных данных

5.

Интерполяционная формула Бесселя
Интерполяционная формула Бесселя является важным
инструментом в математическом анализе и приближенных
вычислениях. Она позволяет аппроксимировать функции с
использованием полиномов Бесселя, обеспечивая высокую
точность и эффективность при решении различных задач.
Формула Бесселя используется для интерполирования
при значениях q, близких к 0,5.
Практически она используется при 0.25 q 0.75

6.

Формула Бесселя имеет вид:
y0 y 1
q (q 1) 2 y 1 2 y0
Pn ( x)
(q 1/ 2) y0
2
2!
2
(q 1/ 2)q(q 1) 3
q (q 1)(q 1)(q 2) 4 y 2 4 y 1
y 1
...
3!
4!
2
2n
2n
y
y ( n 1)
q(q 1)(q 1)(q 2)(q 2)...(q n)(q n 1)
n
(2n)!
2
(q 1/ 2)q(q 1)(q 1)(q 2)(q 2)...(q n)(q n 1) 2 n 1
y n
(2n 1)!

7.

В том случае, когда q = 0.5,
формула Бесселя может быть
переписана в виде:
y0 y 1 1 2 y 1 2 y0
3 4 y 2 4 y 1
Pn ( x)
...
2
8
2
128
2
n (1 3 5...(2n 1))
( 1)
2n
2 (2n)!
2
2 n y n 2 n y ( n 1)
2
- формула интерполирования на середину.
.

8.

Преимущества и недостатки интерполяции Бесселя
Интерполяция Бесселя является мощным инструментом для
аппроксимации функций, особенно в задачах обработки
сигналов и изображений. Однако она имеет свои
ограничения. Одним из главных преимуществ является её
высокая точность при работе с данными, которые имеют
синусоидальную составляющую. Это делает её идеальной
для анализа периодических процессов. Тем не менее,
сложность вычислений и требования к ресурсам могут быть
значительными, особенно при увеличении порядка
интерполяции. Также следует учитывать, что интерполяция
Бесселя может быть чувствительным к шумам в данных, что
требует дополнительных методов фильтрации перед её
применением.

9.

Преимущества
•Высокая точность: Бессель дает хорошую точность
аппроксимации, особенно в середине интервала.
•для обработки данных: Часто используется в задачах обработки
сигналов и изображений благодаря своей точности.
Недостатки
•Больше вычислений: Формула требует большего количества
вычислений по сравнению с более простыми методами.
•Чувствительность к шуму: Как и многие методы
интерполяции, подвержена влиянию ошибок округления и шума в
исходных данных.
•Погрешность на краях: Точность может снижаться при
вычислениях для точек, близких к крайним значениям интервала.