Презентация_по_математике_на_тему_Комплексные_числа_1

1.

Комплексные числа

2.

Основные понятия
Комплексным числом z называют выражение:
z a i b,
где а и b – действительные числа, i – мнимая единица,
определяемая равенством:
i 1 i 2 1
а называется действительной частью числа z,
b – мнимой частью.
Если а = 0, то число i b называется чисто мнимым.
Если b = 0, то получается действительное число а.
Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой
части, называются сопряженными:
z a i b,
z a i b,

3.

Геометрическое изображение
комплексных чисел
Всякое комплексное число z a i b, можно изобразить на
плоскости XOY в виде точки A(a; b).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа,
называют плоскостью комплексной переменной.
y
z
Точкам, лежащим на оси OX,
A(a; b)
b
соответствуют действительные числа
(b = 0), поэтому ось OX называют
действительной осью.
a х
0
Точкам, лежащим на оси OY , соответствуют чисто мнимые числа
(a = 0), поэтому ось OY называют мнимой осью.
Иногда удобно считать геометрическим изображением
комплексного числа z вектор OA

4.

Действия над комплексными числами
1
Действия над мнимой единицей.
i 2 1; i 3 i; i 4 i i 1; i 5 i
При любом целом k:
i 4 k 1;
i 4 k 1 i;
i 4 k 2 1;
i 4 k 3 i

5.

Действия над комплексными числами
2
Равенство комплексных чисел.
Два комплексных числа z1 a1 i b1 и z2 a2 i b2
называются равными : z1 z2 , если a1 a2 , b1 b2
Комплексное число z a i b равно нулю , тогда и только
тогда, когда a 0, b 0
3
Сложение и вычитание комплексных чисел.
Суммой (разностью) комплексных чисел z1 a1 i b1 и
z2 a2 i b2 называется комплексное число, определяемое
равенством:
z1 z2 a1 i b1 a2 i b2 a1 a2 i b1 b2
z1 z2 a1 i b1 a2 i b2 a1 a2 i b1 b2

6.

Действия над комплексными числами
4 Умножение комплексных чисел.
Умножением комплексных чисел z1 a1 i b1 и z2 a2 i b2
называется число, получаемое при умножении этих чисел по
правилам алгебры как двучлены
На основании этого правила получим:
z1 z2 a1 i b1 a2 i b2
a1 a2 i b1 a2 i b2 a1 i 2 b1 b2
z1 z2 a1 a2 b1 b2 i b1 a2 b2 a1
Произведение сопряженных комплексных чисел:
2
2
2
2
a
(
i
b
)
a
b
z z ( a i b) ( a i b)
z z a2 b2

7.

Действия над комплексными числами
5
Деление комплексных чисел.
Чтобы разделить
z1 a1 i b1 на z2 a2 i b2
необходимо умножить делимое и делитель на число, сопряженное
делителю:
z1 a1 i b1
z 2 a2 i b2
(a1 i b1 ) (a2 i b2 )
(a2 i b2 ) (a2 i b2 )
(a1a2 b1b2 ) i (a2b1 a1b2 ) a1a2 b1b2
a2b1 a1b2
i 2
2
2
2
2
a2 b2
a2 b2
a2 b22

8.

Действия над комплексными числами
Найти произведение и частное комплексных чисел:
z1 2 3i,
z 2 1 4i
= -1
z1 z2 2 3i 1 4i 2 3i 8i 12i 2
2 3i 8i 12 14 5i
z1 2 3i
z 2 1 4i
(2 3i ) (1 4i )
(1 4i ) (1 4i )
2 3i 8i 12
17
10 11i
17
2 3i 8i 12i 2
2
2
1 4
10 11
i
17 17

9.

Пример: z1=3+2i;
Найти: 1.z1+z2
2.z1-z2
3.z1z2
4.z1z1
5.(z1)