Определённый интеграл

1. Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла
Геометрический смысл определенного
интеграла
Физический смысл определенного интеграла
Формула Ньютона – Лейбница
Свойства определенного интеграла
1

2. Понятие определенного интеграла

Верхний предел
интегрирования
b
f ( x )dx
a
[a; b] - область (отрезок)
интегрирования
Нижний предел
интегрирования
Теорема (существования определенного интеграла)
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] , то
определенный интеграл
b
f ( x )dx существует.
a
Непрерывность функции является достаточным условием ее
интегрируемости.
2

3. Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть непрерывная неотрицательная функция y = f(x) задана на
отрезке [a; b].
Фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу
– осью OX , сбоку прямыми x = a; x = b , называется
криволинейной трапецией.
Найдем площадь этой трапеции.
3

4.

y
Произведение f (ci ) xi
равно площади
прямоугольника с
основанием x i и высотой
xi
f (ci )
S f (ci )
с1 с2
0
a
сi
сn
f(ci )
x1 x2 … хi -1 хi … xn - 1 b x
Сумма таких произведений равна площади ступенчатой
фигуры и приближенно равна площади криволинейной трапеции:
S Sn
4

5. Геометрический смысл определенного интеграла

С уменьшением величин
xi точность формулы
Sn S увеличивается.
y
S
0
a
b
Поэтому за точное
значение площади S
криволинейной трапеции
принимается предел, к
которому стремится
площадь ступенчатой
x фигуры Sn, когда n
неограниченно возрастает.
b
S
f ( x )dx
a
5

6. Физический смысл определенного интеграла

Точное значение работы А силы F на всем отрезке [a; b]:
b
А : F ( x )dx
a
Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за
промежуток времени от t = a до t = b, равен определенному
интегралу от скорости:
b
S v (t )dt
a
Масса неоднородного стержня на отрезке [a; b]
равна определенному интегралу от плотности:
b
m ( x )dx
a
6

7. Формула Ньютона - Лейбница

Теорема
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) какая
либо ее первообразная, то имеет место формула:
b
f ( x )dx F (b) F (a)
a
Формула Ньютона Лейбница
sin xdx cos x cos ( cos 0)
1 ( 1) 2
0
0
7

8. Разминка

1) Пожарных учат надевать штаны за три
секунды. Сколько штанов хорошо
обученный пожарный оденет за пять минут
100
2) На совете профилактики собралось 40
строгих преподавателей и все стали по
очереди ругать одного первокурсника.
Сколько часов ругали первокурсника, если
каждый преподаватель ругал 12 минут?
8
8

9.

3) Саша Апшаев сел делать домашнее
задание по математике и сидел за столом 2
часа. 20 минут он ковырял в носу и думал о
мороженом, 10 минут искал в ящике стола
ластик, чтобы стереть с графика функции
неприличную картинку, на рисование
которой перед этим он потратил 40 минут.
Остальное время Саша вычислял интегралы
от степенных функций. Сколько интегралов
он вычислил, если на решение каждого
потрачено 25 минут?
2
9

10. Свойства определенного интеграла

a
b
b
a
a
Cf ( x )dx C f ( x )dx
f ( x )dx 0
a
b
b
b
a
a
a
f ( x ) ( x ) dx f ( x )dx ( x )dx
b
a
a
b
f ( x )dx f ( x )dx
Если функция f интегрируема на каждом из отрезков [a, c] и
[c, b] ( a < c < b), то она интегрируема на [a, b] и
b
c
b
a
a
c
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
10