Свойства числовых функций

1. Свойства числовых функций

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
4

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

• Если каждому значению х из
некоторого множества чисел
поставлено в соответствие
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
ЕДИНСТВЕННОЕ число у, то
говорят, что на этом множестве
задана функция у = f(х).
1
2
4

3.

• При этом х называют независимой
переменной или аргументом,
• а у – зависимой переменной или функцией
• f – правило, по которому ставится
соответствие.
В зависимости от правила способы задания
функции:
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• аналитический (с помощью формулы);
• графический (с помощью графика);
• табличный (с помощью таблицы значений);
• словесный (правило задания функции
описывается словами).
1
2
4

4.

• аналитический
• графический
• табличный
• описательный
f ( x) 2 х 2 2 х 5
х
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
у
y
1
0 1
3
39
x
8
0
-2
-7
1
2
4
Сила равна скорости изменения импульса

5. График функции

• Графиком функции называется
множество всех точек координатной
плоскости (х; у), абсциссы которых
равны значениям независимой
переменной из области определения
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
этой функции, а ординаты –
соответствующим значениям функции.
1
2
4

6.

СВОЙСТВА
ФУНКЦИЙ
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
4

7. Область определения и множество значений

• Область определения функции – все значения,
которые принимает независимая переменная.
Обозначается : D(f).
6
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
2
• Пример. Функция задана формулой ух=
9
1
2
4
• Данная формула имеет смысл при всех
значениях
• х ≠ -3, х ≠ 3, поэтому
D( y) \ 3

8.

• Область (множество) значений функции – все
значения, которые принимает зависимая
переменная.
Обозначается : E (f)
Пример. Функция задана формулой у =
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
х 9
2
Данная функция является квадратичной , график –
4
парабола, вершина (0; 9), поэтому E( y )= [ 9 ; +∞)

9.

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
4

10.

Нули функции
Значения аргумента, при которых функция
обращается в нуль, называют нулями функции.
Если f ( x ) 0, то х нуль функции
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Например ,
х 5 нуль функции .
y f (x)
1
2
4

11.

Найти нули функции, заданной графически
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
y f (x)
1
2
4
Сколько нулей имеет данная функция?

12.

Как найти нули функции, заданной
формулой?
y х 36
0011 0010 1010 1101 0001 010021011
Пример
Так как y 0, то решаем уравнение :
х 36 0
2
х 36
х 6
2
1
2
4

13. Интервалы знакопостоянства

Нули функции разбивают область
0011 0010 1010 1101 0001 0100•1011
определения функции на
промежутки
( : 3); ( 3;3); (3; )
2
-3
3
1
2
• В каждом из этих промежутков
функция принимает либо только
положительные значения, либо
только отрицательные. Это
4
промежутки
знакопостоянства

14. Четность, нечетность

Четная функция
0011
0010 1010
1101
0001 0100
1011
Функция
y = f(x)
называется
четной,
если для любого х из области
определения выполняется равенство
f (-x) = f (x).График четной функция
симметричен относительно оси
ординат.
Нечетная функция
Функция y = f(x) называется нечетной,
если для любого х из области
определения выполняется равенство
f (-x) = - f (x). График нечетной
функции симметричен относительно
начала координат.
y
y
0 1
0 1
x
2
4
1
1
1
x

15. Периодичность

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
4

16. Исследование функций на монотонность

Функция возрастает, если большему
(меньшему) значению аргумента
большее
(меньшее)
0011 соответствует
0010 1010 1101
0001 0100
1011
значение функции.
Функция убывает, если большему
(меньшему) значению аргумента
соответствует меньшее (большее)
значение функции.
если двигаться по графику слева
направо, то ординаты точек
графика всё время увеличиваются
(«поднимаемся в горку»);
говорят, что функция возрастает;
если двигаться по графику слева
направо, то ординаты точек
графика всё время уменьшаются
(«спускаемся с горки»);
говорят, что функция убывает.
у
y=f(x)
о
1
y
2
4
o
y=f(x)
х
x

17.

Определение 2.
Определение
Функция у = f (х) называют
возрастающей
промежутке
0011 0010
1010 1101на
0001
0100 1011
Х, если из неравенства х1 < х2,
где х1 и х2 – любые две точки
промежутка
Х,
следует
неравенство f (х1) < f (х2).
Функция у = f (х) называют
убывающей на промежутке Х,
если из неравенства х1 < х2, где
х1 и х2 – любые две точки
промежутка
Х,
следует
неравенство f (х1) > f (х2).
у
у
f (x2)
f (x1)
1
f (x2)
f (x1)
о
х1
х2
х
о
х1
2
4
х2
х

18. Экстремумы

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
4

19. Асимптоты

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
4