Интерполяция и численные методы

1.

Линейная интерполяция
Квадратичная интерполяция
Интерполяция многочленом Лагранжа
Интерполяция многочленом Ньютона
Сплайны
Точность интерполяция
01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"

2.

Температура, 0С
5
7
13
15
10
3
Время
суток, ч
0
5
10
15
20
24
15
Чему была равна
температура в 12
часов????
14,0
13,2
10
5
12
0
01.03.2026
5
10
15
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
20
2

3.

Математическая постановка задач интерполирования
Пусть на отрезке [а, b] задана функция у = f(x)
y0 = f(x0), у1 = f(x1), …, уn = f(xn)
х0, х1 ,..., хn - узлы интерполяции
F(х) -табулированная функция
y0 у1 … уn
x0 x1 … xn
yо = F(х0) = f(xо), y1 = F(х1) = f(x1),..., yn = F(хn) = f(xn)
01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
3

4.

Интерполирование функции – это
нахождение значения функции в точках,
отличных от узлов интерполяции
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
Экстраполирование
вне участка
Интерполирование внутри участка
Х
01.03.2026
[Х0; Хn]
Х
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
[Х0; Хn]
4

5.

Интерполяция в станках с числовым
программным управлением (ЧПУ)
1. Линейная апроксимация.
Первые системы ЧПУ оснащались
линейными интерполяторами и
программирование такого движения для
программиста было затруднено. Дуги и
окружности приходилось аппроксимировать
прямыми линиями, т.е. просчитывать
промежуточные точки.
Отклонение (погрешность) от округлости с
радиусом R определяется расстоянием d,
очевидно, что чем меньше величина
линейного участка dl, тем выше точность
аппроксимации.
Зная допустимую погрешность
аппроксимации d можно рассчитать угловой
шаг df = arcos((R-d)/R), a число сегментов
аппроксимации на заданном участке n = f2f1/df.

6.

2. Круговая интерполяция:
В микропроцессорных
устройствах ЧПУ круговая
интерполяция может быть
выполнена в плоскости,
образуемой какими-либо
двумя координатными
осями, например, в
плоскости XOY или XOZ.
Дуга на плоскости может быть задана
следующими параметрами:
центром С(координаты Xc, Yc), начальной
точкой А(X1, Y1), конечной точкой B(X2, Y2),
радиусом R.

7.

Линейная интерполяция (локальная)
Yi
Y
Yi-1
Xi-1
X
01.03.2026
Xi
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
7

8. Квадратичная интерполяция (локальная)

Х=0,32
Y=?
Линейная интерполяция
Квадратичная интерполяция
01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
Y=3,92
Y=3,89
8

9.

Глобальная интерполяция
При глобальной интерполяции функцию, заданную ее
значениями в узлах интерполяции ( таблицей) заменяют
формулой (аналитическое задание функции)
Интерполирование с
помощью многочлена
Лагранжа
Интерполирование с
помощью многочлена
Ньютона
Сплайны
Равноотстоящие узлы интерполяции: h=xi-xi+1=const
X = 1,2,3,4,5,6,7,…..
Неравноотстоящие узлы интерполяции: h=xi-xi+1=const
01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
X = 1,2,4,5,8,12,13,….
Дисциплина "Численные методы"
9

10.

Интерполяция многочленом Лагранжа
Интерполяционный многочлен представляет собой линейную
комбинацию многочленов степени n:
(X-Xo)
(Xo-Xo)
(X-X1)
(X1-X1)
(X-X2)
(X2-X2)
(X-Xi)
(Xi-Xi)
01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
(X-Xn)
(Xn-Xn)
10

11.

В общем виде интерполяционный многочлен Лагранжа будет
иметь вид:
(X-Xi)
(Xi-Xi)
Пример 1. Функция задана таблично
Пользуясь интерполяционным
многочленом Лагранжа, найти ее значение в точке х = 4.
Решение.
Подставляя в формулу х=4, получим
01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
11

12.

Многочлен Ньютона
До сих пор не делалось никаких предположений о законе распределения
узлов интерполяции. Теперь рассмотрим случай равноотстоящих значений
аргумента, т. е. Xi — Xi+1 = h = const (i = 1, 2,... , n). Величина h называется
шагом. Введем также понятие конечных разностей. Пусть известны
значения функции в узлах х, y=f(x). Составим разности значений функции:
Эти значения называются первыми разностями (или разностями первого
порядка) функции. Можно составить вторые разности функции:
ВНИМАНИЕ –это не
показатель степени, а
Аналогично составляются разности порядка k:
номер разности!!!!!
01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
12

13.

Первый интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования
вперед, целесообразно использовать для вычисления значении функции в
точках левой половины рассматриваемого отрезка.
Второй интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования
назад, целесообразно использовать для для вычисления функции в точках
правой половины рассматриваемого отрезка
01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"

14.

Пример применения интерполяционной формулы Ньютона
Исх.дан
01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
14

15.

Найти
значение в
точке х=0,1
1 интерполяционный
многочлен Ньютона
(слева)
01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
15

16.

Найти
значение в
точке х=0,1
2 интерполяционный
многочлен Ньютона
(справа)
При интерполяции слева х=3,398, при интерполяции справа
х=3,402.
Точное значение
х=3,3975.
первом случае
01.03.2026
БИК
Специальность В
ПОВТ
16
погрешность меньше.Дисциплина "Численные методы"

17.

Сплайн – функция - это система специальным образом
сформированных многочленов третьей степени. Они
представляют собой некоторую математическую модель гибкого
тонкого стержня из упругого материала.

18.

Сплайн в общем
виде
K1=tgά, K2=tgβ
С находим
решая
систему
уравнений
01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
18

19.

1. Построение параболического сплайна
2. Линейная сплайн интерполяция Sсilab
3. Интерполяция кубическим сплайном Scilab
Аппроксимация и интерполирование Excel
01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
19

20.

Точность интерполяции.
Повышение точности интерполяции целесообразно производить за счет
уменьшения шага и специального расположения точек Xi.
Повышение степени интерполяционного многочлена при локальной
интерполяции также уменьшает погрешность, однако здесь не всегда
ясно поведение производной (х) при увеличении n.
На практике стараются использовать многочлены малой степени
(линейную и квадратичную интерполяции, сплайны).
01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Конец"Численные
лекции методы"
Дисциплина
20