Применение подобия к доказательству теорем и решение задач

1. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач

2.

Средней линией треугольника называется
отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
С
М
А
К
В
МК – средняя линия ∆АВС

3.

Средняя линия треугольника параллельна одной
из его сторон и равна его половине.
В
Дано: ∆АВС, МК – средняя линия.
Доказать: МК ∥ АС, МК = ½ АС.
М
А
1
2
Доказательство:
К ∆АВС ∾ ∆МВК (т.к. В – общий,
ВМ : ВА = ВК : ВС = 1: 2),
Поэтому 1 = 2 и МК : АС =1: 2
Из 1 = 2 МК ∥ АВ (по
С второму признаку
параллельности прямых),
Из МК : АС =1: 2 МК = ½ АВ.

4.

Медианы треугольника пересекаются в одной
точке, которая делит каждую медиану в
отношении 2 : 1 считая от вершины.
С
В1
2
4
О
А
1
Дано: ∆АВС, АА1, ВВ1, СС1 –
медианы ∆АВС.
Доказать: 1) АА1∩ВВ1∩СС1= О;
СО : ОС1= АО : ОА1= ВО : ОВ1=
А1 2)
= 2 : 1.
С1
Доказательство:
3
В

5.

С
Дано: ∆АВС, С = 90 , СН ⊥ АВ.
Доказать:
∆АВС ∾ ∆АСН ∾ ∆СВН.
2 4
Доказательство:
1
По первому признаку подобия
3
А
Н
В треугольников ∆АВС ∾ ∆АСН
(т.к. А – общий, АCВ =
= АНС = 90 ) 1 = 2.
Аналогично, ∆АВС ∾ ∆СВН (т.к. В – общий, АCВ =
= ВНС = 90 ) 3 = 4.
∆АСН ∾ ∆ВСН (т.к. они п/у и 1 = 2, 3 = 4).

6.

Отрезок ХУ называется средним пропорциональным
(или средним геометрическим) для отрезков АВ и CD,
если
XY AB CD
А 1,5 В
C
X
3
?
6
D
Y
XY 1,5 6 9 3.

7.

С
b
А
bc
h
a
Н ac
В
c
ac – проекция катета а на гипотенузу с
(длина отрезка на гипотенузу, который
соответствует катету),
bc – проекция катета b на гипотенузу с.

8.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из
вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное
между проекциями катетов на гипотенузу
СН AН НВ
С
b
А
h
АН СН
Из ∆АСН ∾ ∆ВСН
СН НВ
a
СН 2 АН НВ
Н ac В
bc
c
СН АН НВ
h ac bc

9.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее
пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого
катета на гипотенузу
АС AВ АН
С
b
А
h
a
АВ
АС
Из ∆АВС ∾ ∆АСН
АС АН
Н ac В
bc
c
АС 2 АВ АН
АС АВ АН
b c bc
a c ac

10.

Построить треугольник по данным двум углам и
биссектрисе при вершине третьего угла.
С
А1
А
Дано: А, В; А + В < 180 ,
СС1 – биссектриса угла С.
Построить: ∆АВС
В1
С1
В
А
В
С
С1

11.

Легенда рассказывает о том, что Фалес,
будучи в Египте, поразил фараона
Амасиса тем, что сумел точно установить
высоту пирамиды, дождавшись
момента, когда длина тени палки
становится равной её высоте, и тогда
измерил длину тени пирамиды.

12.

h1 – высота пирамиды
h2 – высота палки
l1 – длина тени пирамиды
l2 – длина тени палки
h1 l1
l1 h 2
h1
h2 l2
l2
h1
h2
l1
l2

13.

А1
?
Измерить высоту фонарного столба.
А1С1 ВС1
Из ∆АВС ∾ ∆А1ВС1
АС
ВС
АС ВС1 1,7 4,2 2,1
А1С1
ВС
2,1
А1С1 5,1.
А
1,7
С1
4,2
С
В
2,1

14.

Измерить расстояние до недоступной точки.
В1
В
А1
180мм
С1
Из ∆АВС ∾ ∆А1В1С1
?
А
С
180м
АВ
АС
А1В1 А1С1
АС
АВ
А1В1
А1С1
150 м