Лекция 8 ДУ_лекция 2 (1)

1. Дифференциальные уравнения

Лекция 2

2. Глава 2. Дифференциальные уравнения высших порядков

§1. Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
F ( x, y, y ' , y '' ) 0,
(1.1)
где х - независимая переменная,
у - искомая функция.
Иногда рассматривается уравнение, разрешённое относительно второй
производной
y '' f ( x, y, y ' ),
(1.2)
Решением уравнения (1.1) называется функция у= (x ) , х (a, b) , если при
подстановке её в уравнение (1.1) обращается в тождество, т.е.
F ( x, ( x), ' ( x), '' ( x)) 0 .

3.

Общим решением уравнения (1.2) называется функция y ( x, c1 , c2 ) , где c1 и c2 произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям:
1) функция y ( x, c1 , c2 ) является решением уравнения (1.2) при любых значениях
c1 и c2 ;
2) при любых начальных условиях
y x x0 y 0 ,
y ' x x0 y1
существуют единственные значения постоянных c1 c10 , c 2 c 2 0 , такие, что функция
0
y ( x, c 01 , c 2 ) удовлетворяет начальным условиям.
Частным решением называется функция y ( x, c 01 , c 2 0 ) , которая получается из
общего решения y ( x, c1 , c2 ) уравнения (1.2) при c1 c10 , c 2 c 2 0 , .
Задача Коши. Найти решение уравнения
y '' f ( x, y, y ' ),
удовлетворяющее начальным условиям y x x y 0 ,
0
y ' x x0 y1 .
Теорема о существовании и единственности задачи Коши. Если в уравнении
'
y '' f ( x, y, y ' ), функция f ( x, y, y ' ) и её частные производные f y ( x, y, y ' ) непрерывны в
'
некоторой области D пространства переменных ( x, y, y ' ) , то какова бы ни была
внутренняя точка ( x0 , y0 , y1 ) D , в некоторой окрестности точки x 0 существует
единственное решение y (x) этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

4.

§2. Дифференциальные уравнения n-го порядка
Дифференциальным уравнением
n-го порядка
называется уравнение,
связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию у и её производные
по х до n-го порядка
F ( x, y, y ' , y ,..., y ( n ) ) 0
(2.1)
или, если оно разрешено относительно старшей производной
y ( n ) f ( x, y, y ,..., y ( n 1) ) .
(2.2)
Общее решение уравнения (2.2) имеет вид
y ( x, c1 , c2 ,..., cn ) .
(2.3)
Частное решение уравнения (2.2) получается из общего решения (2.3) при
конкретных значениях постоянных c1 c 01 , c2 c 0 2 , …, c1 cn 0 .
Начальные условия для дифференциального уравнения (2.2) имеют вид
y x x0 y 0 ,
y x x0 y1,
y x x0 y 2 ,..., y ( n 1) x x0 y n 1
(2.4)
Нахождение частного решения уравнения (2.2), удовлетворяющее начальным
условиям (2.4), называется решением задачи Коши.

5. §3. Уравнения, допускающие понижение порядка

Рассмотрим три вида уравнений второго порядка, решение которых можно
свести к решению уравнения первого порядка
1. Уравнение вида y f (x) .
Общее решение уравнения такого вида можно найти последовательным
интегрированием этого уравнения, т.е.
y f ( x)dx C1 f1 ( x) C1
y [ f1 ( x) C1 ]dx f1 ( x)dx C1 x C2 f 2 ( x) C1 x C2
Пример. Найти частное решение уравнения y 6x,
x2
y 6 xdx 6 C 3x 2 C1
2
x3
2
y (3x C1 )dx 3 C1 x C2
3
3
y x C1 x C2 - общее решение,
y |x 0 0
0 C2
y 3x 2 C1
1 C1
y x3 x - частное решение.
y |x 0 0 , y |x 0 1 .

6.

Замечание. Простейшим дифференциальным уравнением n-го порядка
является уравнение вида
y ( n ) f ( x) .
Интегрируя последовательно n раз, получим общее решение:
x n 1
xn 2
y n ( x) C1
C2
... Cn .
(n 1)!
(n 2)!
2. Уравнение вида y f ( x, y ) (уравнение не содержит y).
Выполним замену z ( x) y , тогда z ( x) y .
В результате получим уравнение первого порядка
z f ( x, z ) .
Решая его, получим
z ( x, C1 ) или y ( x, C1 ) .
Отсюда интегрируя обе части уравнения, получим общее решение:
y ( x, C1 )dx C2 , где C1, C2 const .

7.

Пример. Решить уравнение y 3
Сделаем замену y z ( x), y z .
y
x.
x
z
x - линейное уравнение первого порядка
x
z uv, z u v uv
3
u v uv uv x
x
3
u v u (v v) x
x
3
v v 0
x
dv 3
v
dx x
ln v 3 ln x
dv
3
dx
,
v x
v x3
u x3 x
z 3
u x 2
1
u C1
x
Итак, z C1 x3 C1 x3 x 2 или
1
x
y C1 x 3 x 2
.
x 4 x3
y C1 C2
4
3

8.

3. Уравнение вида y f ( y, y ) (уравнение не содержит х).
Введем новую функцию p(y).
Положим y p ( y ) , тогда
y
d ( y ) dp dp dy dp
dp
y p
.
dx
dx dy dx dy
dy
Подставляя выражения для y и y в данное уравнение, получим
уравнение первого порядка относительно p(y).
p
Решая его, получим
dp
f ( y, p) .
dy
p y,C1
или, возвращаясь к старой переменной, получим
dy
( y, C1 )
dx
dy
dx
( y, C1 )
dy
y, C1 x C2 - общее решение.

9.

Пример. Решить уравнение 2 yy 1 y 2 .
Решение.
y p
y p
dp
dy
Тогда получим
dp
1 p2
dy
pdp
dy
2
1 p2
y
2y p
ln 1 p 2 ln C1 y
1 p 2 C1 y
p C1 y 1
y C1 y 1
dy
dx
C1 y 1
2
С1 y 1 x C2
С1
4 C1 y 1 C1x C3
2