10.1 — копия

1. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл

2. 2. Понятие производной

Пусть х - произвольная точка, лежащая в некоторой
окрестности точки х0 (окрестность точки х0 - это
интервал (а; б), x0 (а; б)).
Разность х-х0 называется приращением аргумента:
∆x=х-x0. Отсюда x=x0+∆x.
Разность
f(x)-f(x0)
называется
функции: ∆f=f(x)-f(x0) или
приращением
∆f=f(х0+∆x)–f(х0).
Отсюда, f(х0+∆x)=f(х0)+∆f.

3. 2. Понятие производной

Производной функции y=f(x) в точке х0
называется
предел
отношения
приращения функции ∆f к приращению
аргумента ∆x, стремящегося к «нулю»:
f
y` lim
x 0 x
f ( x 0 x) f ( x)
y` lim
x 0
x

4. 2. Понятие производной

Четыре обозначения для производной:

5. 2. Понятие производной

6. 2. Понятие производной

Правило нахождения производной функции
y=f(x) в точке х0:
1.
2.
3.
4.
Найти значение функции в точке x0+∆x: f(x0+∆x)
Найти приращение функции: ∆f=f(x0+∆x)-f(x0)
Найти отношение приращения функции к приращению
аргумента: f
f ( x0 x) f ( x0 )
x
x
Найти предел отношения приращения функции к
приращению аргумента при стремлении приращения
аргумента к нулю:
f ( x x) f ( x )
y ' lim
x 0
0
0
x

7. Угловой коэффициент прямой.

Прямая проходит через начало
координат и точку Р(3; -1). Чему
равен ее угловой коэффициент?
1 3k
1
k
3

8. Найдите угловые коэффициенты прямых:

2
1
1
4
2
3
3
4

9. 3. Геометрический смысл производной

Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1:
Через точки М и М1 проведем
секущую и обозначим через φ
угол наклона секущей.
y
М1
f(x+ Δx )
f(x )
x
φ
0
y
М
х
x+Δx
х
y f ( x x) f ( x)
tg
x
x
При
x→0 в силу непрерывности функции
y также
стремится к нулю, поэтому точка М1 неограниченно
приближается по кривой к точке М, а секущая ММ1 переходит в
касательную.
tg tg
lim lim
x 0
x 0

10.

3. Геометрический смысл производной.
f ( x x ) f ( x )
y
lim
tg
k
x 0
x
Производная f ’(x) равна угловому
y коэффициенту касательной к
графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x.
Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой
коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ).
Уравнение
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y y 0 к (x - x0 )
касательной
Уравнение
нормали
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания,
f ' ( x0 )
называется нормалью к кривой.
1
1
1
k норм
y y0
( x x0 )
k кас f ' ( x0 )
f ' ( x0 )

11.

Пример: Найти уравнение касательной и нормали для функции f(x)=x2 в
точке x0 = 3.
Решени
е:
1) y 3 f 3 x f 3 3 x 2 32 9 2 3 x x 2 9 6 x x 2 ,
2)
6 x x 2
x 6 x
f 3 lim
lim
lim 6 x 6.
x 0
x 0
x 0
x
x
y f x0 f x0 x x0 уравнение касательной
y f x0
1
x x0 - уравнение нормали
f x0
3)
yкас 9 6 x 3
yкас 6 x 9
19.04.2026
f x0 0 .
1
x 3
6
1
1
yнорм x 9 .
6
2
Ответ: yкас 6 x 9
yнорм 9
1
1
yнорм x 9 .
6
2

12.

Найти уравнение касательной и нормали
для функции f (x)=2x 3-3 в точке x0 = 1.
19.04.2026
12