Двойной интеграл

1. Тема: Двойные интегралы Свойства двойных интегралов

1/17
Тема: Двойные интегралы
Свойства двойных
интегралов

2. Основные понятия

2/17
Основные понятия
Пусть в замкнутой области D плоскости XOY задана непрерывная
функция z = f(x, y).
Разобьем область D на n
«элементарных областей» Di,
площади которых обозначим через
ΔSi, а диаметры (наибольшее
расстояние между точками
области) через di.
y
Di
В каждой области Di выберем
произвольную точку Mi(xi; yi).
Составим сумму вида:
D
Mi(xi;
yi).
0
!!! Прямоугольник в формуле это многоточие не
отобразилось
x

3. Основные понятия

3/17
Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x, y) в
области D.
Рассмотрим предел интегральной суммы, когда n стремится к
бесконечности, таким образом, что
Если этот предел существует и не зависит от способа
разбиения области D на части, ни от выбора точек в них,
то он называется двойным интегралом от функции f(x; y)
по области D и обозначается:

4. Геометрический смысл двойного интеграла

Геометрический смысл двойного
z = f(x; y)
интеграла
5/17
Рассмотрим тело, ограниченное
сверху поверхностью z = f(x; y),
z
снизу замкнутой областью D на плоскости
XOY ,
с боков цилиндрической
поверхностью, образующая которой
параллельна оси OZ, а
направляющей служит граница
области D.
0
y
D
x
Такое тело называют цилиндрическим. Найдем его объем.

5. Геометрический смысл двойного интеграла

f(xi ; yi)
6/17
Разобьем область D на n областей
Di, площади которых равны ΔSi
z
Рассмотрим цилиндрические столбики с
основанием Di, ограниченные сверху
кусками поверхности z = f(x; y)
В своей совокупности они составляют тело
V
Обозначив объем столбика с основанием
Di, через ΔVi, получим:
0
y
Di
x
Возьмем на каждой площадке Di точку Mi(xi; yi)
и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же
основанием Di и высотой zi = f(xi; yi).
Mi(xi; yi).

6. Геометрический смысл двойного интеграла

7/17
Объем этого цилиндра приближенно равен объему ΔVi
цилиндрического столбика
Тогда получаем:
Это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше
размеры элементарных областей, поэтому:
Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной
функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит
геометрический смысл двойного интеграла.

7. Свойства двойного интеграла

8/17
Свойства двойного интеграла
1
2
y
3
Если область D разбить на две
области D1 и D2 не имеющих общих
точек, то
D1
0
4
D2
x

8. Свойства двойного интеграла

9/17
5
Если в области D имеет место неравенство:
6
Если в области D функции f(x; y) и g(x; y) удовлетворяют
неравенству:
7
Если функция f(x; y) непрерывна в замкнутой области D,
площадь которой S то:
где m и M соответственно наименьшее и наибольшее
значение подынтегральной функции в области D.

9. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Вычислить
D:
Воспользуемся формулой (2)
15/17
y
y = x2
2
1
y=2-x
D
00
1
2
постоянная
x

10. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

16/17