2026_05_07

1. Расстояние между точками

Теорема. Расстояние между точками A1(x1,y1,z1), A2(x2,y2,z2) в
пространстве выражается формулой
A1 A2 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 ( z1 z2 ) 2 .

2. Сфера и шар

Координаты точек сферы с центром в точке A0(x0,y0,z0) и радиусом R
удовлетворяют равенству
(x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2 = R2.
Координаты точек шара с центром в точке A0(x0,y0,z0) и радиусом R
удовлетворяют неравенству
(x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2 R2.

3. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Отложим вектор так, чтобы его начало совпало с началом
координат. Тогда координаты его конца называются координатами
вектора. Обозначим i , j , k векторы с координатами (1, 0, 0), (0,
1, 0), (0, 0, 1) соответственно. Их длины равны единице, а
направления совпадают с направлениями соответствующих осей
координат. Будем изображать эти векторы, отложенными от начала
координат и называть их координатными векторами.

4. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Теорема. Вектор a имеет координаты (x, y, z) тогда и только тогда,
когда он представлен в виде a xi yj zk .
Доказательство. Отложим вектор a от начала координат и его конец
обозначим через А. Имеет место равенство
OA OAx OAy OAz .
Точка А имеет координаты (x, y, z) тогда и только тогда, когда
выполняются равенства
OAx xi , OAy yj , OAz zk ,
и, значит, a xi yj zk .
ч.т.д.

5. ДЛИНА ВЕКТОРА

Если вектор a задан координатами начальной и конечной точек,
A1(x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2), то его длина выражается формулой
| A1 A2 | ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2 .

6. Упражнение 1

Найдите координаты векторов:
а) a 2i 6 j k ;
б) b i 3 j ;
в) c 3 j 2k ;
г) d 5i 5k .
Ответ: а) (-2, 6, 1); б) (1, 3, 0); в) (0, -3, 2); г) (-5, 0, 5).

7. Упражнение 2

Найдите координаты вектора
AB , если:
a) A(2, -6, 9), B(-5, 3, -7);
б) A(1, 3, -8), B(6, -5, -10);
в) A(-3, 1, -20), B(5, 1, -1).
Ответ: а) (-7, 9, -16); б) (5, -8, -2); в) (8, 0, 19).

8. Упражнение 3

Вектор AB имеет координаты (a,b,c). Найдите координаты
вектора BA .

9. Упражнение 4

В прямоугольном параллелепипеде OABCO1A1B1C1 вершина O –
начало координат, ребра OA, OC, OO1 лежат на осях координат
Ox, Oy и Oz соответственно и OA=2, OC=3, OO1=4. Найдите
координаты векторов OA1 , OB1 , OO1 , OC .

10. Упражнение 5

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед
OABCO1A1B1C1, у которого вершина O совпадает с началом
координат. Найдите координаты вектора: а) OA; б) OC ; в) OB ;
г) OO1 ; д) BC1 ; е) B1C1 ; ж) AA1 ; з) OB1 ; и) O1 B .