Простейшие задачи в координатах

1.

2.

z
векторов ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Найти координаты точек А, В, С и
A(-1; 3;-6)
OA{-1; 3;-6}
B(-2;-3; 4)
OB{-2;-3; 4}
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC{ 3;-2; 6}

3.

№408
Найдите координаты векторов
AC, CB, AB, MN, NP, BM, OM, OP.
M, N P – середины отрезков АС, ОС и ВС
OA=4
OB=9
OC=2
z
С
Р
2N
М
4
А
x
k
i
j
O
9
y
В
Из АОС, AC = AО + ОС = –ОA + ОС = –4i + 2k
AC {-4; 0 ; 2}

4.

Найти координаты векторов.
3a{
}
b{-2; 0;1,5}; -2b{
}
d{-2;-3; 23 }; -3d{
}
c {2;-5;0};
-c{
}
e {2;-3;8};
0,5e{
}
-2f{
}
a {2; 4;-1};
f(0; 5;- 12 };
Проверить.
Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов

5.

Найти координаты
векторов,
противоположных
данным.
a {2; 4;-5}; -a{
}
b{-2; 0;-1}; -b{
}
d{0; 0; 0}; -d{
}
–j{
}
–i{
–k{
}
}
Проверить.
Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов

6.

Найти координаты векторов.
a {2; 4; 3}; c {3; 2;-3}; a +c {
}
b{-2; 0; 4}; d{-2;-3;-1}; b+d{
}
c {2;-5; 4}; e {2;-3;-9}; c +e{
}
f(0; 5;-3}; d{-2;-3;7};
f - d{
}
b{-2; 0;-1}; d{-2;-3;-4}; b - d{
}
a {2; 4;0}; c {3; 2;-9}; a - c{
}
Проверить.
Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов

7.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на параллельных
прямых.
Коллинеарные, сонаправленные векторы
c
b
a
a
b
c
b
c
a
Нулевой вектор условимся считать
сонаправленным с любым вектором.
o
a
o
c
o
b

8.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на параллельных
прямых.
Коллинеарные,
противоположно направленные векторы
b
a
c
a
b
c
b

9.

Коллинеарны ли векторы
a {3;
3 66; 88}; b{6;12;16}
6 12 16
=
=
1
=
2
Векторы
Замените
b= 2a
a
и
b
или
1
a= b
2
коллинеарны.
* так, чтобы векторы были коллинеарны.
a {2;-1,5
*}
* ; 6}; b{4;-3;12
c {0; 2;-12
* }; f{ *0 ;-0,5;3}

10.

Векторы называются компланарными, если при
откладывании их от одной и той же точки они будут лежать
в одной плоскости.
Другими словами, векторы называются
компланарными, если имеются равные им векторы,
лежащие в одной плоскости.
c
a
b

11.

Любые два вектора компланарны.
Три вектора, среди которых имеются два
коллинеарных, также компланарны.
Признак компланарности
Если вектор
a
c
можно разложить по векторам
c = xa + yb
где x и y – некоторые числа, то векторы a, b и c
и
b
, т.е. представить в виде
компланарны.

12.

Компланарны ли векторы
a {2;
2 66;-3};
-3 b{6;18;-9}
6 18 -9
=
=
1
=
3
i
и
a и b коллинеарны.
a , b , i компланарны.
Векторы
Векторы
Компланарны ли векторы
a {2; 4; 3}; b{6;11;-9};
и
MM = 0
Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Значит, эти векторы компланарны.

13.

Компланарны ли векторы
n {2; 6;-3}; f{0; 5; 0}
Векторы
Векторы
и
j {0; 1; 0}
f и j коллинеарны.
n , f , j компланарны.
Компланарны ли векторы
a {-3;-3; 0}; i {1; 0; 0};
и
j {0; 1; 0}

14.

Компланарны ли векторы
a = xi + yj
–3 = x 0 + y 1
0 = x 0 + y 0
3 уравнение
i { 1; 0; 0};
j { 0; 1; 0}
2 уравнение
–3 = x 1 + y 0
1 уравнение
a {-3;-3; 0};
Признак компланарности
Проверим, можно ли разложить, например , вектор
векторам
i
и
a
по
j.
Существуют ли такие числа
x и y, что a = xi + yj

15.

Выразим
координаты
вектора
АВ равна
через разности
координаты
Каждая
координата
вектора
его начала А и конца В.
соответствующих координат его конца и начала.
Из АОB, AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA{x1; y1; z1}
OB{x2; y2; z2}
–OA{-x1; -y1; -z1}
+ OB{x ; y ; z }
2
2 2
OB – AB
OA {x2-x1; y2-y1; z2-z1}
A(x1; y1; z1)

16.

A(3;5;7)
–
B(5;4;-1)
A(3;5;7), B (5;4;-1), AB
AB{2;-1;-8}
N(3;2;-3), O(0;0;0), ON
Радиус-вектор
P (2;-1;0), C (4;-4;2), PC
R(-4;0;-4), T (0;5;-1), TR
D(-3;-4;0), O(0;0;0), OD
Радиус-вектор
OD{-3;-4; 0}
ON{3; 2;-3}
P(2;-1;0)
–
C(4;-4;2)
PC{2;-3; 2}
R(-4;0;-4)
–
T(0; 5;-1)
TR{-4;-5;-3}

17.

Найдите координаты
векторов
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
A(0;3;4); B(-4;0;-3); BA
A(-2;7;5); B(-2;0;-3); AB
R(-7;7;-6); T(-2;-7;0); RT
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM{-4;0;2}
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN{3; 5;-1}
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD{ 0; 6;-6}
A(0; 3;4)
– B(-4;0;-3)
BA{4; 3;7}
B(-2;0;-3)
T(-2;-7;0)
– A(-2;7;5) – R(-7; 7;-6)
AB{0;-7;-8} RT{5;-14;6}

18.

Найти координаты векторов.
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM {
}
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD {
}
R(-3;0;-2); N(0;5;-3);
RN {
}
A(0;3;4); B(-4;0;-3);
BA {
}
A(-2;7;5); B(-2;0;-3); AB {
}
R(-7;7;-6); T(-2;-7;0); RT {
}
Проверить.
Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов

19.

Планиметрия
B
C
A
1
ОС (ОА ОВ )
2
O

20.

Координаты середины отрезка
OC =
z
1
2
+
(OA+OB)
OA{x1;y1;z1}
OB{x2;y2;z2}
OA+OB{x1+x2; y1+y2;z1+z2} :2
A(x1;y1;z1)
C (x;y;z)
B(x2;y2;z2)
y
О
x
x1+x2 y1+y2 z1+z2
(OA+OB) {
;
;
}
2
2
2
x1+x2
y1+y2
z1+z2
; z=
x=
; y=
1
2
*
2
2
2

21.

Каждая координата середины отрезка равна
полусумме соответствующих координат его концов.
z
x1+x2 y1+y2 z1+z2
OC{
;
;
}
2
A(x1;y1;z1)
x1+x2 y1+y2 z1+z2
C(
;
;
)
2
2
2
2
2
B(x2;y2;z2)
y
О
x
Полусумма аппликат
Полусумма ординат
Полусумма абсцисс
* x=
x1+x2
2
;
*y =
y1+y2
2
;
*z =
z1+z2
2

22.

№ 424 (a)
Найдите координаты середины отрезка
A(0; 3;-4), B(-2;2;0), середина – точка M(-1; 2,5; -2 )
Полусумма абсцисс
x=
x1+x2
y=
y1+y2
Полусумма ординат
Полусумма аппликат
z=
2
;
2
z1+z2
2
x=
0+(-2)
2
3 +2
= -1
;
y=
;
-4 +0
z = 2 = -2
2
= 2,5

23.

Найдите координаты
середины отрезков
R(2;7;4); M(-2;7;2); C ( 2+(-2)
2
P(-5;1;3); D(-5;7;-9);
7+7 4+2
;
;
)
2
2
-5+(-5) 1 + 7
(
;
;
C
2
2
3 +(-9)
)
2
-3+0 0+5 -3+(-5)
; ;
);
R(-3;0;-3); N(0;5;-5); C (
2
2
2
A(0;-6;9); B(-4;2;-6);
0+(-4) -6+2
(
;
;
C
2
7+(-2)
A(7;7;0); B(-2;0;-4); C (
2
R(-7;4;0); T(-2;-7;0); C (
2
C(0; 7; 3)
C(-5; 4;-3)
C(-1,5;2,5;-4)
9+(-6) C(-2;-2;1,5)
);
2
7 + 0 0+(-4) C(2,5; 3,5;-2)
;
;
);
2
2
-7+(-2) 4+(-7) 0+0
;
; ); C(-4,5;-1,5;0)
2
2
2

24.

Найти координаты середин отрезков.
R(2;7;4); M(-2;7;2); C(
)
P(-5;1;3); D(-5;7;-9); C (
)
R(-3;0;-3); N(0;5;-5); C (
)
A(0;-6;9); B(-4;2;-6); C(
)
A(7;7;0); B(-2;0;-4); C (
)
R(-7;4;0); T(-2;-7;0); C(
)
Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов.
Проверить.

25.

Обратная задача.
x1 y1 z1
A(5; 4;-6)
x
Дано:
y z
A(5; 4; -6);
C(-3; 2;10)
x2 y2 z2
C(-3; 2; 10) – середина отрезка AB
B(a; b;c)
Найти: B(a; b;c)
z1+z2
x1+x2
y1+y2
z=
y=
;
x= 2 ;
2
2
-3=
5+a
2
;
–6=5+a
a = – 11
2
2=
4+b
2
4=4+b
b=0
;
2
10 =
-6 + c
2
20 = -6 + c
c = 26
B(-11; 0;26)
2

26.

Вычисление длины вектора по его координатам
z
a {x;y;z}
По правилу параллелепипеда
2= 2OA
2+
2 +OA
22+
22
OAOA
= OA
OA
+
OA
1 1
22
3
A3
OA1 = xi = x
A
zk a
О
xi
OA2 = y j = y
yj
A2
2
A1
x
y
OA3 = zk = z
2
2
2
2
2
a = x + y + z
*
a = x +y + z
2

27.

z
Расстояние между двумя точками
d
M2(x2;y2;z2)
–
y
О
x
M1(x1;y1;z1)
M2(x2;y2;z2)
M1(x1;y1;z1)
M1M2 {x2–x1; y2–y1;z2–z1}
*
2
a = x +y + z
M1M2 = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
*
2
d = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2

28.

№ 426 (a)
Найдите длину вектора АВ
A(-1;0;2)
1 способ
1)
–
и
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB{2;-2;1}
2 способ
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2

29.

№ 426 (б)
Найдите длину вектора АВ
A(-35;-17;20)
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1 способ
1)
и
B(-34; -5; 8)
2)
1 способ
2+122+(-12)2 =
AB
=
1
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB{ 1; 12;-12}
2 способ
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 способ
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2