11_3 Ряды+(1)

1.

§ 5. Ряды Тейлора и Маклорена
W W W В И К И С П Р А В К А W W W W W W W W W W W W W W W W W WW
Брук Те́йлор
(англ. Brook Taylor)
(1685–1731)
английский математик, член Лондонского королевского
общества.
Основные исследования относятся к математическому
анализу, механике и баллистике. Занимался также
вопросами оптики, астрономии и философии.
WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
W W W В И К И С П Р А В К А W W W W W W W W W W W W W W W W W WW
Ко́лин Маклóрен
(англ. Colin Maclaurin)
(1698–1746)
шотландский
математик,
член
Лондонского
королевского общества.
Основные научные труды относятся к теории рядов,
исчислению конечных разностей, теории плоских
кривых высших порядков, механике.
WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
1

2.

§ 5. Ряды Тейлора и Маклорена
Ряды Тейлора и Маклорена представляют собой примеры
степенных рядов и используются в приближенных вычислениях.
Опр. 1. Пусть функция f (x) имеет в окрестности точки x0
производные любого порядка. Рядом Тейлора функции f (x) в
точке x0 называется ряд
f (n) ( x )
f ( x0 )
n
0
f
(
x
)
( x x0 )
n! ( x x0 ) 0
1!
n 0
(1)
(n)
f ( x0 )
f ( x0 )
n
2
(
x
x
)
...
( x x0 ) ...
0
n!
2!
Формально ряд Тейлора можно записать для любой функции
f (x) (если она имеет производные любого порядка).
Сходится ли полученный ряд? Равна ли его сумма
значению функции f (x)?
?
2

3.

Ряд Тейлора, как всякий степенной ряд, имеет интервал сходимости
и сумму, причем, возможно, и не равную f(x). Естественен вопрос:
при каких условиях сумма ряда совпадает с f(x) в некоторой
окрестности точки x0?
Из ряда Тейлора следует, что его n −я частичная сумма есть
многочлен Тейлора
n
f x0
f
x0
2
Pn x f x0 f x0 x x0
x x0 ...
x x0
2!
n!
Отсюда, если ряд Тейлора сходится к функции f(x), то справедливо
равенство