Неразличимость частиц. Симметрия

1. Квантовая и ядерная физика Раздел АТОМ. Системы. Тождественных частиц. Многоэлектронные атомы

Абрик Ибрагимович Валишев, к.ф. - м.н., профессор
? Марлен Еновкович Топчиян , д.ф. -м.н., профессор

2. ЛЕКЦИЯ 16. Неразличимость частиц. Симметрия.

А.И. Валишев волновых функций

3. Симметрия волновых функций.

4. Симметрия волновых функций

Рассматривается система N частиц.
mi - масса i – й частицы, i лапласиан i – й
частицы, Ui (ri ) – потенциальная энергия во
внешнем поле, Wik (rik )- потенциальная
энергия взаимодействия i – й * k – й частицы
Гамильтониан:
2
N
N
1
Hˆ
i U i ( ri ) Wik ( rik )
2 i ,k 1
i 1 2mi
i 1
N
Wik ( rik ) Wik ri rk
Обозначения : qi ( xi , yi , zi , i ) ri , i , i , i , i ( 1, 1)
Волновая функция задачи
( q1 , q2 ,..., qn )

5. Симметрия волновых функций

В случае N тождественных частиц:
mi =m, Ui (ri ) = U(ri ) , Wik (rik ) = W (rik )
Гамильтониан тождественных частиц:
2
N
N
1
Hˆ
i U (ri ) W (rik )
2 i ,k 1
i 1 2m
i 1
N
Перестановка i-й и k-й частиц не меняет
Гамильтониана.
Оператор Гамильтона симметричен
относительно перестановки частиц.
Hˆ (q1 , q2 ,..., qi ,.., qk ,...qN ) Hˆ (q1 , q2 ,..., qk ,.., qi ,...qN )

6. Симметрия волновых функций

Принцип неразличимости:
Состояние системы тождественных частиц не
меняется при перестановке пары частиц друг с
другом
Классическая интерпретация траектории.
Идентификация частиц, движущихся по
траекториям в классике.
В квантовой интерпретации наблюдается
«перекрытие» волновых пакетов. Невозможно
отождествить частицу в области
перекрытия пакетов.
Все состояния тождественных частиц,
отличающихся перестановками являются
одним состоянием

7. Симметрия волновых функций

Для пары частиц.
( q1 , q2 ) ( q2 , q1 ) ?
Перестановка q1 q2
( q2 , q1 ) ( q1 , q2 ),
1
Повторная перестановка q2 q1
( q1 , q2 ) ( q2 , q1 ), ( q2 , q1 ) 2 ( q2 , q1 )
1
Существует два класса волновых функций –
симметричная (s) относительно перестановки
аргументов и антисимметричная (a).
Свойства (s) (a) сохраняются со временем
s : s ( q1 , q2 ) s ( q2 , q1 ),
a : a ( q1 , q2 ) a ( q2 , q1 )

8. Симметрия волновых функций

Доказательство сохранения свойства (s), (a)
УШ
в дифференциалах
i d ( q1 , q2 ) Hˆ ( q1 , q2 ) ( q1 , q2 ) dt
Hˆ ( q1 , q2 ) Hˆ ( q2 , q1 )
s ( q1 , q2 ) s ( q2 , q1 ), a ( q1 , q2 ) a ( q21 , q1 )
1. i d s ( q2 , q1 ) Hˆ ( q2 , q1 ) s ( q2 , q1 ) dt
2. i d a ( q2 , q1 ) Hˆ ( q2 , q1 ) a ( q2 , q1 ) dt
Приращение ВФ симметрично, если
симметрична исходная ВФ.
Приращение ВФ антисимметрично, если
антисимметрична исходная ВФ

9. Симметрия волновых функций

Все ВФ, описывающие состояния системы N
тождественных частиц должны обладать
одинаковой симметрией:
S быть либо симметричными (s),
A либо антисимметричными (a)
относительно всех возможных N!
перестановок частиц.
В противном случае линейные комбинации
базисных ВФ не будут обладать единой
симметрией.

10. Симметрия волновых функций

Все частицы делятся на 2 класса:
1. класс (s), описываемый симметричными
ВФ – «бозоны» (статистика Бозе Эйнштейна)
2. Класс (a) – антисимметричные ВФ
«фермионы» (статистика Ферми –
Дирака)
3. Класс (s) бозоны – спин целый (s=0,1,2,…
4. Класс (a) фермионы – спин полуцелый
(s=1/2, 3/2,…

11. Принцип паули.

12. Принцип Паули

Принцип Паули.
Принцип Паули
Вероятность осуществления у двух фермионов из системы фермионов одинаковых
полных наборов квантовых чисел, соответствующих одновременно измеряемым величинам,
равна нулю!
Доказательство. Рассматривается пара
фермионов (электронов) из системы
k – полная система квантовых чисел соответствующих одновременно измеримым величинам.
k (q) – собственная функция полной системы
операторов
q – набор пространственных и спиновых
переменных

13. Принцип Паули

Пример система 2-х электронов в атоме.
Квантовые числа , переменные.
k n, l , m, ms , q r, , ,
Волновые функции
k ( q) Rnl ( r ) Ylm ( , )
ВФ двух фермионов – сумма по набору квантовых
чисел произведений одночастичных ВФ
q1 , q2
c( k , k )
1
2
k1
( q1 ) k 2 ( q2 )
k 1,k 2
1. Простая смена мест аргументов в двухчастичной
ВФ
q , q c(k , k ) ( q ) ( q )
2
1
1
2
k1
2
k2
1
k 1,k 2
2. Переобозначение индексов k1 в k2 и наоборот.
3. Использование антисимметрии ВФ
2. q2 , q1
c( k , k )
2
k 1,k 2
3. q1 , q2
1
k2
( q2 ) k 1 ( q1 )

14. Принцип Паули

Принцип Паули.
q2 , q1
c( k , k )
2
1
k2
( q2 ) k 1 ( q1 ) q1 , q2
k 1,k 2
c( k1 , k 2 ) k 2 ( q2 ) k 1 ( q1 )
k 1,k 2
c( k 2 , k1 ) c( k1 , k 2 )
k1 k 2 k c( k , k ) 0
w c
2
w( k , k ) 0
w – вероятность осуществления у пары
частиц - фермионов набора одинаковых
квантовых чисел нулевая. w = 0!

15. Принцип Паули

В системе любых тождественных частиц
неопределены состояния отдельных частиц.
Произведение одночастичных ВФ не обладает
точно определенной симметрией либо (s) либо (a)
k 1 ( q1 ) k 2 ( q2 ) s , a
Решением УШ для системы 2-х бозонов является
симметризованная ВФ
1
s ( q1 , q2 )
1 ( q1 ) 2 ( q2 ) 2 ( q1 ) 1 ( q2 ) s ( q2 , q1 )
2
Решением УШ для системы 2-х фермионов
является антисимметризованная ВФ
1
a ( q1 , q2 )
1 ( q1 ) 2 ( q2 ) 2 ( q1 ) 1 ( q2 ) a ( q2 , q1 )
2

16. Интернет ресурс

http//:edu.ci.nsu.ru
Курс лекций
Задачник