01 PP-1

1.

2. 6. Приложения производной

6. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
6.1 Правило Лопиталя
6.2 Исследование функции и построение её графика
6.3 Нахождение наибольшего и наименьшего
значений функции

3. 6.1 Правило Лопиталя

6.1 ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
Теорема.
Пусть 1) функции y = f(x) и y = g(x) дифференцируемы в некоторой
окрестности U(a) точки a, за исключением, быть может, самой точки,
2) g (x) 0 в окрестности U(a),
f ( x)
3) предел lim
есть неопределённость вида
x a g ( x )
f ( x)
A.
4) существует предел lim
x a g ( x )
Тогда существует предел
f ( x)
lim
A.
x a g ( x )
0
или
,
0

4. 6.1 Правило Лопиталя

6.1 ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
Правило Лопиталя:
f ( x)
0
f ( x)
lim
или
lim
x a g ( x )
x a g ( x )
0
Замечания:
1) Правило Лопиталя можно применять, если
2) Правило Лопиталя можно применять, если
x .
A .
3) Если после первого применения правила Лопиталя опять получилась
неопределённость указанного вида, то можно применять его повторно.
4) Неопределённости вида
0 , , 1 , 00 , 0
нужно сначала при помощи алгебраических преобразований привести к
указанным, а потом применять правило Лопиталя.

5. 6.1 Правило Лопиталя

6.1 ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
Примеры:
Вычислить пределы, применяя правило Лопиталя:
3x
e
1
0
e 1
e3 x 3
1 3
3
lim
lim
1) lim
x 0
x 0 sin10 x
x 0 cos10 x 10
0
1 10 10
sin10 x
3x
x12
1
e
2
1
2 x2
ex
0
lim
lim
2) lim x e
x 0 1
x 0
x 0
1
2
2
x
2
2
x
x
x
3
e
e 2 x
x 2
lim
e
e
lim
lim
3
x 0
x 0
x 0
2 x
2
x

6. 6.1 Правило Лопиталя

6.1 ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
Примеры:
Вычислить пределы, применяя правило Лопиталя:
1
x 1 ln x
0
1
3) lim
lim
x 1 ln x
x 1 ln x x 1
x 1
0
1
1
x 1 ln x
x 1
x
lim
lim
lim
x 1
x
1
1
x 1 x 1 x ln x
ln x x 1
x 1 ln x 1
x
x 1
0
1
1
1
lim
lim
x
1
x
1
1
0
1 0 1 2
x 1 x ln x
1 1 ln x x
x

7. Продолжение следует...

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ...