ДУ первого порядка

1. Дифференциальные уравнения

2.

Определение:
Уравнение,
связывающее
независимую переменную х, искомую функцию у и
её производные, называется дифференциальным
уравнением (ДУ):
n
F x, y, y , ...., y 0.
Определение: Порядком дифференциального
уравнения
называется
наивысший
порядок
производной, входящей в это уравнение.
y 3 xy x 2 y 0
ДУ первого порядка,
y 3x 2 y 4 x
ДУ второго порядка.

3.

Определение: Решением дифференциального
уравнения называется такая дифференцируемая
функция
y x , которая при подстановке в
уравнение обращает его в тождество.
2
Например, решением уравнения y x x y 0
являются все функции вида y x 2 Cx, C const.
Так как y 2 x C,
2
2
2
2
2
2
x
C
x
x
x
Cx
2
x
Cx
x
x
Cx 0.
Это уравнение имеет множество решений в
зависимости от выбора постоянной С.

4. Дифференциальные уравнения I порядка

5.

Рассмотрим
дифференциальное
уравнение
первого порядка: F x, y, y 0 . Если его разрешить
относительно производной, то получим y f x; y .
Определение: Общим решением ДУ первого
порядка
называется
функция y x, C ,
удовлетворяющая условиям:
1. функция y x, C является решением данного
уравнения при любых значениях постоянной С;
2. для любого начального условия y x0 y0
существует единственное значение С=С0, при
котором решение y x, C0
удовлетворяет
заданному начальному условию.

6.

Определение: Всякое решение y x, C0
уравнения y f x; y , получающееся из общего
решения при некотором значении С=С0, называется
частным решением.
Процесс
нахождения
решений
дифференциального
уравнения
называется
интегрированием дифференциального уравнения.
Рассмотрим различные виды дифференциальных
уравнений первого порядка.

7. Дифференциальные уравнения I порядка с разделяющимися переменными

8.

Определение: Дифференциальное уравнение I
порядка называется уравнением с разделяющимися
переменными, если, разрешив его относительно
производной
неизвестной
функции,
справа
получается произведение функции, зависящей
только от х на функцию, зависящую только от у:
y f1 x f 2 y .
При
решении
ДУ
с
разделяющимися
переменными,
переменные
разделяют
и
интегрируют левую и правую часть в отдельности.

9.

dy
dy
f1 x f 2 y .
Так как y
, то
dx
dx
Домножим левую и правую часть на dx:
dy f1 x f 2 y dx.
dy
f1 x dx.
Разделим переменные:
f2 y
Интегрируя, получим общий интеграл решения
дифференциального уравнения:
dy
f2 y f1 x dx C , где C const .

10.

3
y
x
2 y.
Пример: Решить уравнение
Решение:
dy
dy 3
x 2 y.
Так как y , то
dx
dx
Домножим левую и правую часть на dx:
dy 2dx
3
x dy 2 ydx
3 ,
y
x
dy
dx
3
2
ln
y
2
x
y x3
dx,
2
x
1
ln y 2
C ln y 2 C y e
2
x
1
C 2
x
.

11. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

12.

Определение: Дифференциальное уравнение
P( x; y )dx Q( x; y )dy 0,
P Q
, называется уравнением в полных
где
y x
дифференциалах.
Левая часть такого уравнения есть полный
дифференциал некоторой функции u=u(x; у).
Если это уравнение переписать в виде du=0, то
его общее решение определяется равенством u=C.

13.

Функция u=u(x; у) может быть найдена по
формуле:
y
x
u P ( x; y )dx Q( x0 ; y )dy.
x0
y0
При
этом
нижние
пределы
интегралов
произвольны. Их выбор ограничен единственным
условием – интегралы в правой части должны иметь
смысл, то есть они не могут быть расходящимися
несобственными интегралами второго рода.

14.

Пример: Найти общий интеграл уравнения:
x
y
e
y
sin
y
dx
e
x x cos y dy 0.
Решение:
P
x
P( x; y ) e y sin y,
x const 1 cos y.
y
Q
Q( x; y ) e x x cos y,
y const 1 cos y.
x
Следовательно, левая часть уравнения есть полный
дифференциал некоторой функции u=u(x; у), то есть
y
u
u
x
e y sin y,
e y x x cos y.
x
y

15.

Проинтегрируем Р(x; у) по х:
u e x y sin y dx C ( y ) e x xy x sin y C ( y ).
Продифференцируем полученное выражение по у
и найдем функцию С(у):
u
u
x x cos y C ( y ), но
e y x x cos y.
y
y
x x cos y C ( y ) e y x x cos y C ( y ) e y .
Тогда C ( y ) e y dy e y .
Таким образом, общий интеграл уравнения имеет
вид:
e x xy x sin y e y C.

16. Однородные дифференциальные уравнения I порядка

17.

Определение: Дифференциальное уравнение I
порядка называется однородным, если, разрешив его
относительно производной неизвестной функции,
справа получается функция, зависящая от
отношения у на х:
y
y f .
x
Решение
однородного
дифференциального
уравнения
приводится
к
решению
дифференциального уравнения с разделяющимися
переменными с помощью подстановки вида: z y .
x

18.

Тогда y zx, y zx z x zx z x z.
Подставляя полученные выражения в исходное
дифференциальное уравнение, получим:
z x z f z .
В полученном уравнении разделим переменные и
проинтегрируем его.
dz
dz
dx
x f z z,
,
dx
f z z x
dz
dx
dz
f z z x f z z ln x ln C ln Cx .
Вычисляя интеграл в левой части, и возвращаясь
к первоначальным переменным, получим общее
решение однородного ДУ.

19.

y
2 y
Пример: Решить уравнение y cos .
x
x
Решение:
y
Введем новую переменную z , тогда
x
y zx, y z x z.
dz
z x z z cos z x cos 2 z.
dx
dz
dx
dz
dx
tgz ln x ln C ,
2
2
cos z x
cos z
x
2
tgz ln Cx
z arctg ln Cx ,
y
arctg ln Cx
x
y x arctg ln Cx .

20.

Однородные дифференциальные уравнения часто
задаются в виде:
M x; y y N x; y 0,
или M x; y dy N x; y dx 0.
Для однородных уравнений функции М(х; у) и
N(х; у) должны быть однородными функциями
одного и того же измерения k, то есть удовлетворять
условию: M tx; ty t k M x; y ;
k
N
tx
;
ty
t
N x; y .
где t – произвольный множитель.

21.

При решении однородных дифференциальных
уравнений вида
M x; y dy N x; y dx 0
y
нет необходимости их приводить к виду y f .
x
Подстановка
y zx, dy zx dx z x zx dx xdz zdx
преобразует дифференциальное уравнение в
уравнение с разделяющимися переменными.

22. Линейные дифференциальные уравнения I порядка

23.

Определение: Линейным уравнением I порядка
называется уравнение линейное относительно
неизвестной функции и ее производной:
y P( x) y Q( x),
где Р(х) и Q(x) – непрерывные функции аргумента х
или постоянные.
Линейные уравнения I порядка решаются при
помощи подстановки Бернулли: y u v, где u=u(x) и
v=v(x) – дифференцируемые функции.

24.

В результате подстановки получаются два
дифференциальных уравнения с разделяющимися
переменными:
y u v, y u v uv u v uv P( x)uv Q( x),
u v u v P( x)v Q( x).
1. v P( x)v 0,
2. u v Q( x).
Но второе уравнение можно решить после того
как найдем решение v=v(x) первого уравнения.
dv
P ( x )v,
1. v P( x)v 0
dx
dv
dv
P( x)dx P( x)dx,
v
v

25.

ln v P( x)dx v e
P ( x ) dx
2. u v Q( x) u e
P ( x ) dx
du
Q( x)
dx e P ( x ) dx
.
Q( x),
P ( x ) dx
du Q( x)e
dx,
P ( x ) dx
P ( x ) dx
du Q( x)e dx u Q( x)e dx C.
Таким образом,
P ( x ) dx
P ( x ) dx
y u v Q ( x )e
dx C e
.

26.

Пример: Решить уравнение y 2 y x 2 2 x e 2 x .
Решение:
Это линейное уравнение, применим подстановку:
y u v, y u v uv , тогда
u v uv 2uv x 2 2 x e 2 x ,
u v u v 2v x 2 2 x e 2 x ,
1. v 2v 0,
2
2 x
u
v
x
2
x
e
.
2.

27.

1. v 2v 0,
dv
2v,
dx
dv
2dx,
v
dv
v 2 dx,
ln v 2 x,
v e 2 x .
Таким образом,
2. u v x 2 2 x e 2 x ,
u e 2 x x 2 2 x e 2 x ,
du
x 2 2 x,
dx
du x 2 2 x dx,
2
du
x
2 x dx,
x3
u x 2 C.
3
x3
2 x
2
y u v x C e .
3

28. Уравнение Бернулли

29.

m
Уравнение вида: y P( x) y Q( x) y , где m 0 и
m 1 называется уравнением Бернулли. Здесь Р(х)
и Q(x) – непрерывные функции аргумента х или
постоянные.
Уравнения Бернулли решаются при помощи
подстановки: y u v, y u v uv .
u v uv P( x)uv Q( x) uv ,
m
u v u v P( x)v Q( x) uv ,
m
1. v P( x)v 0,
2. u v Q( x) uv .
m

30.

4y
x y.
Пример: Решить уравнение y
x
Решение:
Это уравнение Бернулли, применим подстановку:
y u v, y u v uv , тогда
4uv
u v uv
x uv ,
x
4v
u v u v x uv ,
x
4v
0,
1. v
x
2. u v x uv .

31.

4v
0,
1. v
x
dv 4v
,
dx x
dv 4dx
,
v
x
ln v 4ln x ,
ln v ln x 4 ,
v x4.
Таким образом,
2. u v x uv ,
u x 4 x u x 4 ,
du
u
du
dx
,
dx
x
x
u
2 u ln x ln C ,
1
u ln Cx ,
2
1 2
u ln Cx ,
4
x4 2
y u v ln Cx .
4