Матрицы лекция часть 1

1.

Матрицы и действия
над ними

2. Тема 1. Матрицы

ТЕМА 1. МАТРИЦЫ
Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная
алгебра – имеет важное значение для экономистов, так как значительная часть
математических моделей экономических объектов может быть записана в
компактной матричной форме.
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк
одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины).
Матрица записывается следующим образом:
Матрицы обозначаются прописными
латинскими буквами.
или
Am n (aij )
где
a11
a21
A
...
am1
a12
a22
...
am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
aij – элемент матрицы, i – ой строки и j – го
столбца,
где
i = 1,2…m
j = 1,2…n
2

3.

Матрицу А называют матрицей размера m n и
пишут
Числа
, составляющие матрицу, называется ее
элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из
верхнего левого угла, образуют главную диагональ.
Матрицы
равны между собой, если равны
соответствующие элементы этих матриц, т.е.,
А=В, если
, где
все
3

4.

Виды матриц
Если количество строк равно количеству столбцов,
т.е. m=n, то матрица называется квадратной.
Квадратную матрицу размера n × n называют
матрицей n-го порядка.
7 45
À
1
0
Если m = n, то матрица называется прямоугольной.
1
À
0
2
3
2
0
3
5
4

5.

Квадратная матрица называется диагональной, если
все элементы, не принадлежащие главной диагонали,
равны нулю.
a11 0
0 a22
A
... ...
0
0
... 0
... 0
... ...
... ann
Диагональная матрица, у которой все элементы
главной диагонали равны единице, называется
единичной матрицей и обозначается символом Е.
1
0
E
...
0
0 ... 0
1 ... 0
... ... ...
0 ... 1
5

6.

Квадратная матрица называется треугольной, если все
элементы, расположенные по одну сторону от главной
диагонали, равны нулю.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется
нулевой. Обозначается буквой О. Имеет вид:
0
0
0
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
0
0
...
0
В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль
чисел 0 и 1 в арифметике.
6

7.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку,
называется вектором (или вектор-столбец, или векторстрока соответственно). Их вид:
Матрица размера 1 × 1, состоящая из одного числа,
отождествляется с этим числом, т.е.
есть 5.

8.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки
столбцом с тем же номером, называется матрицей
транспонированной к данной. Обозначается
.
Так, если
Транспонированная
свойством: (АТ)Т = А.
матрица
обладает
следующим

9.

Действия над матрицами
Сложение
Операция сложения матриц вводится только для матриц
одинаковых размеров.
Суммой двух матриц Am n (aij ) и
называется матрица
такая, что
Записывают С=А+В.
Вычитание
Все свойства сложения соответствуют вычитанию.
9

10.

Пример сложения и вычитания матриц
Даны матрицы:
Сумма матриц:
Разность матриц:
10

11.

Умножение на число
Произведением матрицы Am n (aij ) на число k называется
матрица
такая, что
Записывают B=k A.
Пример:
Матрица – А= (-1) А называется противоположной матрице А.
11

12.

Операции сложения, вычитания и умножения матрицы на
число обладают следующими свойствами:
1) А + В = В + А (коммутативность)
2) А + (В + С) = (А + В) + С – ассоциативность
3) А + 0 = А
4) А – А = 0
5) 1 А = А
6) (А + В) = А + В – дистрибутивность
7) ( + ) А = А + А
8) ( А) = ( ) А
где А, В, С – матрицы, и – числа.
12

13.

Элементарные преобразования матриц
Элементарными преобразованиями матриц являются:
перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;
умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;
прибавление
ко всем элементам ряда матрицы соответствующих
элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.
Две матрицы называются А и В эквивалентными, если одна из них получается из
другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А В.
При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к
матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все
остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической, например:
13

14.

Произведение матриц
Произведением матрицы Am n ( aij ) на матрицу
называется матрица
такая, что
т.е. элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен
сумме
произведений
элементов
i-строки
матрицы
А
на
соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.
Получение элемента
схематично изображается так:
i
14
k

15.

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и
ВА всегда существуют. Легко показать, что А Е = Е
А=А, где А –
квадратная матрица, Е – единичная матрица того же размера.
Пример:
15

16.

Пример:
Тогда произведение А В
.
не определено, так как число
столбцов матрицы А не совпадает с числом строк матрицы
В. При этом определено произведение В × А, которое
считают следующим образом:
Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = ВА. Умножение
матриц обладает следующими свойствами:
1. А (В С) = (А В) С
2. А (В + С) = АВ + АС
3. (А + В) С = АС + ВС
4. (АВ) = ( А)В
16

17.

Если,
конечно,
написанные
суммы
и
произведения матриц имеют смысл.
Для
операции
транспонирования
верны
свойства:
1. (А + В)Т = АТ + ВТ
2. (АВ)Т = ВТ АТ
17

18.

Тема 2. Определители
Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить
число det A (или А , или
), называемое ее определителем,
следующим образом:
1. n = 1.
2. n = 2.
3.
n = 3.
18
Определитель матрицы А также называют детерминантом.

19.

Вычисление определителя 2-го порядка, иллюстрируется схемой:
2
a11
a12
a21 a22
2
a11a22 a12a21
19

20.

Примеры:
1)
2)
3)
4)
3 2
1
5
3 5 2 1 15 ( 2) 17
cos x sin x
sin x
cos x
cos 2 x sin 2 x cos 2 x
cos x sin x
sin x
cos x
cos 2 x sin 2 x 1
log 2 32 log 3 27
log 4 16 log 5 125
5 3
2 3
15 6 9
20

21.

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться
правилом треугольника (или Саррюса), которое символически можно
записать так:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12
=
a11 a12
a13
a21 a22 a23
–
a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a31 a32 a33
(основания
равнобедренных
треугольников
параллельны
главной
диагонали)
(основания
треугольников
параллельны
побочной
диагонали)
21

22.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка
5 2 1
= 3 1 4
6 0 3
=5•1•(-3) + (-2)•(-4)•6 + 3•0•1 – 6•1•1 – 3•(-2)•(-3) – 0•(-4)•5 = –15+48–6–18 = 48–39=9.

23.

Пример. Вычислить определитель с помощью
правила диагоналей
5 2 1
= 3 1 4
6 0 3
-
-
-+ + +
=5•1•(-3) + (-2)•(-4)•6 + 3•0•1 – (6•1•1+ 0•(-4)•5+ 3•(-2)•(-3)) = =
–15+48 – (6+18) = 33–24=9.

24.

Тема 2.2 Свойства определителей
1. Определитель не изменится, если его транспонировать:
det A det A
det A
det A
T
3
5
2 4
3 2
5
4
12 10 22
12 10 22
T

25.

2. При перестановке двух строк или столбцов определитель
изменит свой знак на противоположный.
3
5
2 4
2 4
3
5
12 10 22
10 12 22

26.

3. Определитель с двумя одинаковыми строками или
столбцами равен нулю.
1 1 3
1 1 3
2 1 4
4 3 6 6 3 4 0