01_math_1.1_матрицы(2026)

1.

Имас
Ольга
Николаевна

2. Литература

• Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б. Элементы
линейной алгебры и аналитической геометрии
• Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Хейнман В.Б. Сборник задач по линейной
алгебра и аналитической геометрии
• Щипачев В.С. Высшая математика. 7-е изд., стер. - М.: 2005.— 479 с.
• Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.
Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа : учебник : в 2 частях / Г. М.
Фихтенгольц. — 11-е изд., стер. — Санкт-Петербург : Лань, [б. г.]. — Часть 1 —
2019. — 444 с
• Л. И. Терехина, И. И. Фикс. Высшая математика. Часть 1. Учебное
пособие. Часть 1: Линейная алгебра; Векторная алгебра; Аналитическая
геометрия. ТПУ. Томск. 2013 г. - 168 с.
• Терехина Л. И. Высшая математика. Учебное пособие. Ч. 2. Предел.
Непрерывность. Производная функции. Приложения производной.
Функции нескольких переменных / Л. И. Терехина, И. И. Фикс . Высшая
математика. Часть 1. Томск : Дельтаплан , 2022. — 192 с.: ил.- Текст:
непосредственный

3.

Главы
1. Линейная алгебра
2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
3. Введение в анализ
4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

4. Глава I. Элементы линейной алгебры

5. § 1. Матрицы и действия над ними

1. Определение и некоторые виды матриц
ОПР. Матрицей размера m n называется таблица,
образованная из элементов некоторого множества
(например, чисел или функций), в которой есть m строк и
n столбцов.
Номер строки
a11 a12 a1n
a a a
2n ,
A = 21 22
am1 am 2 amn
Номер столбца
Краткая форма записи
A = ( aij ) , ( i = 1, m, j = 1, n )
Элементы, из которых составлена матрица, называются элементами
матрицы.

6.

5) Пусть Anxn – квадратная матрица порядка n.
Квадратные матрицы, у которых все элементы ниже (выше)
главной или побочной диагонали равны нулю, называются
треугольными :
a11 a12
0 a
22
A= 0 0
0 0
a13 a1n
a23 a2 n
a33 a3 n ,
0 ann
c11 0 0 0
c c
0
0
21 22
C = c31 c32 c33 0 ,
cn1 cn2 cn3 cnn
b11 b1, n −2 b1, n −1 b1n
b
b
b
0
2, n − 2
2, n −1
21
B = b31 b3, n −2
0
0 ,
b 0
0
0
n1
0
0
d1n
0
0
0
d2, n −1 d2 n
D = 0 d3, n −2 d3, n −1 d3n
d d
d
d
n, n − 2
n, n −1
nn
n1

7.

6) Прямоугольную матрицу размера m n будем называть
трапециевидной, если она имеет вид:
a11 a12 a13
0 a
a23
22
A= 0
0 a33
0
0
0
a1m
a2 m
a3m
amm
a1n
a2 n
a3n
amn
7) Квадратную матрицу m m называют симметрической,
если aij= aji, и кососимметрической, если aij = ─ aji.
1 2 7
A = 2 5 3
7 3 6
1 −2 7
В = 2 5 3
−7 −3 6

8. 2. Линейные операции над матрицами

1) Умножение матрицы на число. (определение сформулировать
самостоятельно)
2) Сложение матриц. (определение сформулировать самостоятельно)

9.

Свойства линейных операции над матрицами аналогичны
свойствам линейных операций над числами
1) A + B = B + A (коммутативность сложения матриц);
2) (A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность сложения матриц);
3) A + O = A;
4) A + (–A) = O;
5) ( A) = ( )A (ассоциативность относительно умножения
чисел) ;
6) ( + )A = A + A (дистрибутивность умножения на матрицу
относительно сложения чисел);
7) (A + B) = A + B (дистрибутивность умножения на число
относительно сложения матриц);
8) 1 A = A.

10. 3. Нелинейные операции над матрицами

1) Умножение двух матриц;
2) Транспонирование матрицы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A=(aij) – матрица размера m n,
B=(bij) – матрица размера n k (т.е. количество столбцов в
матрице A совпадает с количеством строк матрицы B) !!!.
Произведением матрицы A на матрицу B называется
матрица C =(cij) размера m k такая, что каждый ее
элемент cij является суммой произведений элементов
i-й строки матрицы A на соответствующие элементы
j-го столбца матрицы B, т.е.
n
cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + ai3 · b3j + … + ain · bnj = aik bkj
Обозначают: A ·B, AB.
k =1
Матрицы A и B для которых AB = BA , называются
перестановочными или коммутирующими.

11.

Am n Bn p = Cm p
Только для согласованных матриц!
число столбцов матрицы А должно совпадать с числом строк матрицы В
0
−1 0
11 10
ПРИМЕР . 2 −1
(
−
1)
1
0
1 3
c11+
A3 2 B2 2 = C3 2
−1
c+0·
12
c13
2 1c+(–1)·
0
21
c22(–1)·(–1)
2 10+
c31
1·1+3·0
1 c·10+3·(–1)
32
−1 − 10
= 2 21
1
7

12. Свойства операции умножения матриц

1) AE = EA = A , AO = OA = O;
2) (AB)C = A(BC) (ассоциативность умножения матриц) ;
3) (A + B)C = AC + BC ;
4) C(A + B) = CA + CB .
– дистрибутивность умножения
матриц относительно сложения
матриц

13.

ОПР. Пусть A – матрица размера m n.
Матрица размера n m, полученная из A заменой каждой
ее строки столбцом с тем же номером, называется
транспонированной к A и обозначается AТ.
Операция нахождения матрицы AТ называется
транспонированием матрицы A.
Свойства операции транспонирования матриц
1) (AТ )T = A ;
2) (A + B)T = AT + BT ; (доказать самим)
3) (αA)T = αAT ; (доказать самим)
4) (A · B)T = BT · AT .
пропустить 10 клеточек для доказательства