2 тақырып

1. Алғашқы математикалық түсініктер мен көріністердің қалыптасуы

Қазақстан Республиκасы Ғылым және жοғары білім министрлігі
Академик Е.А.Бөкетов атындағы Қарағанды университеті
Алғашқы математикалық түсініктер мен көріністердің
қалыптасуы
Қарағанды 2025

2. Жоспары:

Математиканың бастамасы
Математиканың алғашқы математикалық түсініктер мен
көріністердің қалыптасуы
Сан, геометриялық фигуралар туралы түсініктер
Пайдаланылған дереккөздер тізімі:
1. М.Ә.Искаков, С.Н.Назаров: Математика және математика жайындағы
әңгімелер /– Алматы: «Мектеп», 1967. – 266 б.
2. Көбесов А.; Математика тарихы: Оқу құралы. – Алматы, “Қазақ
университеті”,1993. – 240б.
3. Бронникова, Л.М. История математики [Электронный ресурс] : учебное
пособие. – Барнаул : АлтГПУ, 2016.
4. Рыбников, К.А. История математики/ К.А.Рыбников. – Москва: МГУ, 1974.

3. Математика тарихы пәнінің мақсаты мен міндеттері

Математиканың пайда болуы мен дамуы туралы білімдерді меңгерту
Математиканың қалыптасуы мен даму динамикасы, өткен
кезеңдердегі және қазіргі күнгі математика ғылымының көрнекті
өкілдерінің ғылыми идеяларымен танысу

4.

Математиканың алғашқы ұғымдарының пайда болуы
(б.з.д. VI-V ғғ.)
Практикалық математика кезеңі
(б.з.д.VI-V ғғ. дейін);
Теориялық математика кезеңі
(б.з.д.VI-V– IX ғғ.).

5.

1. Натурал сан ұғымы туралы түсінік пен санау жүйелері
қалыптасты;
2. Есептеу мәдениеті пайда болды;
3. Есептерді шешудің ескілікті әдістері ойлап табылды;
Математиканың
алғашқы
ұғымдарының пайда
болуы
(б.з.д. VI-V ғғ.)
4. Натурал сандардың қасиеттері туралы алғашқы білімдер
жинақталды;
5. Шамалар және оларды өлшеу туралы түсініктердің пайда болды;
6. Бөлшек сан ұғымы туралы алғашқы түсініктер қалыптаса
бастады;
7. Өлшемдес емес шамалардың ашылды;
8. Теріс сан туралы алғашқы түсініктер пайда болды;
9. Алғашқы геометриялық білім-түсініктер пайда болды;
10. Теңдеулер және оларды шешудің алғашқы тәжірибелері
жасалды;
11. Теориялық-дедукциялық математиканың қалыптасуы

6. 1. Натурал сан ұғымының қалыптасуы

Натурал сан - математиканың
объектілердің және олардың бөліктерінің
мөлшерлік сипаттамасын беру, оларды
өзара салыстыру және нөмірлеу үшін
қолданылатын негізгі және ежелгі
ұғымы.

7.

1. Санау өнеріне қажет болатын дерексіздіктердің пайда болу
кезеңі.
2. Сезімдік санау кезеңі.
Натурал сан
ұғымының
қалыптасу үдерісі:
3. Жиындарды олардың элементтерінің мөлшеріне қарай салыстыру
кезеңі.
4. Санау эталонын меңгеру кезеңі.
5. Топтап санау және сан есімдерді енгізу кезеңі.
6. Натурал сан қатарын игеру кезеңі.
7. Сан таңбаларын енгізу кезеңі.
8. Санау жүйелерін меңгеру кезеңі.

8. Топтап санау және сан есімдерді енгізу кезеңі.

Адамзаттың алғашқы қолданған сан есімдері - «бір» мен «екі», екіден
артық сандарды «көп» деп айтқан.Саналатын заттарды екі-екіден, бесбестен, он-оннан, жиырма-жиырмадан топтаған.
Торрес бұғазы тайпаларының сан атаулары: 1 – «урапун», 2 – «окоза», 3
– «окоза - урапун», 4 – «окоза-окоза», 5 – «окоза- окоза-урапун», 6 – «окоза
– окоза - окоза», т.с.с.
Ацтек үндістерінде 5 - «чику», 6 – «чикуасе» [5 + 1(«се»)], 7 – «чикоме»
[5 + 2(«оме»)], 9 – «чикунауи» [5 + 4(«науи»)].

9. Сан таңбаларын енгізу кезеңі

«Екі» санын екі көздің немесе құстың екі қанатының суретін, «бес»
санын бес саусақтың суретін салу арқылы белгіледі. Мұны
пиктографиялық таңба деп атайды.
Санды суреттер арқылы таңбалап жазу – иероглифтік таңбалар пайда
болды (Қытай, Жапония).
Түйінді сандарды белгілейтін ықшамдалған, арнайы таңбалар
иератикалық таңбалар деп аталады.
Иератикалық сан таңбалары бұрынғыдан да оңайлатылып,
демотикалық таңбалар шықты.
Сандарды әріптер арқылы белгілеу жүйесі алфавиттік нумерация деп
аталады.

10.

Алфавиттік нумерациялардың кейбіреулерінде (грек, славян, т.б.)
әріптердің сан таңбалары ретінде жүретіндігін көрсету үшін әрбір әріптің
үстіне «титло» деп аталатын көлденең сызық қойылатын болған.
Алфавиттік санау жүйелері ішінен Орта Азияда кеңінен таралған
арабтың алфавиттік санау жүйесін ерекше атап өту керек. Ол математиктер
арасында «Әбжәд есебі» деп аталған

11. «Әбжәд есебі»

12. Санау жүйелерін меңгеру кезеңі

Топтап санау жүйесі — бұл заттарды жеке-жеке емес, топпен
біріктіріп санау тәсілі.
Санау жүйесі
Қайдан шыққан
Бестік жүйе
5 саусақ
Ондық жүйе
Екі қол - 10 саусақ
Жиырмалық жүйе
Екі қол – екі аяқ
Он екілік жүйе
Саусақтағы буындар
Алпыстық жүйе
Ежелгі Вавилон

13. Мұны қазіргі әріптер мен цифрлар арқылы жазсақ, мынадай болады:

aбжд
1234
һуз
56 7
қ
р
ш т
100 200 300 400
хти
8 9 10
к л м н
20 30 40 50
с
х
з
500 600 700
с ғ ф с
60 70 80 90
з
з
ғ
800 900 1000
Әбжәд бойынша, арифметикалық амалдарды орындауға болады. Мұнда
көбейту кестесі «Бабди бажуан» деп аталады.

14.

Позициялық емес санау
жүйелері
Санау жүйелері:
Позициялық санау
жүйелері

15. Позициялық емес санау жүйелері:

- ежелгі мысырлықтардың санау жүйесі;
- гректердің аттикалық немесе геродиандық санау жүйесі;
- римдік санау жүйесі.

16. Натурал сандардың қасиеттері туралы алғашқы білімдер

«Фигуралы сандар»
Фигуралы сандар дегеніміз - айырмалары 1,2,3, т.с.с. сандарына тең
болатын арифметикалық прогрессия мүшелерінің тізбектелген қосындысын
құрайтын сандар.
1, 3, 6, 10, … сандары үшбұрышты сандар деп аталады, себебі оларды
тең қабырғалы үшбұрыш қабырғаларында жататын нүктелер түрінде
кескіндеуге болады.
1, 4, 9, 16, … сандары квадрат сандар, ал 1, 5, 12, 22, … сандары бес
бұрышты сандар деп аталады.
Пифагоршылар кубтық сандар (1, 8, 27, …) мен пирамидалық сандарды
(1, 4, 10, 20, …) да анықтаған.

17.

3. Есептерді шешудің ежелгі әдістері
Ежелгі Мысырда қолданылған:
- Пропорционал бөлуге берілген есептерді де қарастырған. Мысалы, Райнд
папирусындағы осындай есептердің бірі : «700 нанды 4 адамға, олардың
2 1 1
1
әрқайсысы сәйкесінше, 3, 2, 3 және 4 бөліктерін алатындай етіп бөліп беру
керек».
«Үштік ережесі» («трай-рашика», мағынасы: «үш орын») атты тәсіл
(Үндістанда кеңінен қолданылған).

18.

3. Есептерді шешудің ежелгі әдістері
Ежелгі Мысырда қолданылған:
- «Жалған жору» тәсілі.
«Үймек және оның төрттен бірі 15 болады» деп тұжырымдалатын есеп
(Райнд папирусы, №26);
- Есепті пропорция құру арқылы шешу».
3
«Ені ұзындығының 4 – іне және ауданы 12-ге тең болатын тік
төртбұрыштың қабырғаларын табу керек» деген есеп (Мәскеу папирусы,
№6).

19.

- «Евклид алгоритмі», бөлінгіштік теориясының негізгі теоремалары, жай
сандардың шексіз көп болатындығы туралы Евклид теоремасы, өзара жай
сандар, екі санның ең кіші ортақ еселігі, кемел сандар және т.б.
ұғымдардың анықтамалары келтірілген (Евклид «Негіздер»);
-жай сандарға қатты мән беріліп, оларға қатысты кейбір аса маңызды
теоремалардың дәлелдемелері келтірілген (Евклид «Негіздер»);
- «Эратосфен елегі»;
- «Ең үлкен жай сан болмайды» деген теореманы тұжырымдап, оны
дәлелдеп берді (Евклид), т.б.

20.

- 2-ге бөлінгіштік белгісі ежелгі Мысырда және Үндістанда белгілі болған.
Сонымен қатар үндістандықтар 5-ке бөлінгіштік белгісін де білген;
- вавилондықтар қабырғалары (3,4,5), (5,12,13,) (8,15,17) және т.с.с.
болатын тік бұрышты үшбұрыштарды сала білген.
-«Екі санның көбейтіндісі, олардың ең болмағанда біреуі екіге бөлінгенде
және тек сонда ғана екіге бөлінеді» (пифагоршылар);

21.

Математиканың дамуының 1 кезеңінде келесі математикалық білімдер
жинақталды:
1. Натурал сан ұғымы туралы түсінік пен санау жүйелері қалыптасты;
2. Есептеу мәдениетінің нышандары пайда болды;
3. Есептерді шешудің ежелгі әдістері ойлап табылды;
4. Натурал сандардың қасиеттері туралы алғашқы білімдер жүйеге түсіріле
бастады.