Методы начертательной геометрии в геометрическом моделировании

1. МЕТОДЫ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ В ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ

Лектор: д.п.н., к.т.н., проф. Шангина
Елена Игоревна
ЛЕКЦИЯ 2

2.

ВВЕДЕНИЕ
Считается, что зрение позволяет нам воспринимать мир в
объеме. Это не совсем правильно. Мы воспринимаем двумерную
картину, но ряд факторов позволяет нам преобразовывать ее в
объемную:
• Во-первых, два глаза позволяют увидеть предмет с разных
точек;
• Во-вторых, этот эффект усиливается постоянным
перемещением головы;
• В-третьих - размер видимого предмета уменьшается с
увеличением расстояния, что позволяет оценить дальность при
наличии опыта.
На самом деле трехмерный предмет проецируется на
двумерную сетчатку, и далее мы обрабатываем уже двумерное
изображение, переводя его в трехмерный образ предмета.
Начертательная геометрия заимствует этот подход, используя
вместо сетчатки глаза плоскость (лист бумаги или экран
компьютера).

3.

ПРЕДМЕТ И МЕТОД НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Начертательная геометрия является разделом геометрии, в котором
изучаются методы изображения пространственных фигур на чертеже и
алгоритмы решения позиционных, метрических и конструктивных задач.
Чертежи, выполненные методами начертательной геометрии, называют
геометро-графические модели.
Для того чтобы чертеж был геометрически равноценным изображаемой фигуре
(оригиналу), он должен быть построен по определенным геометрическим законам.
В начертательной геометрии чертеж строится при помощи аппарата проецирования,
поэтому чертежи носят название проекционных чертежей.
При построении этих чертежей широко используются проекционные свойства фигур,
благодаря чему изображение обладает такими геометрическими свойствами,
по которым можно судить о свойствах самого оригинала.
Чертежи должны не только определять форму и размеры предмета, но и быть
достаточно простыми и точными в графическом исполнении, помогать всесторонне
исследовать предметы и их отдельные детали. Эти требования к чертежам и привели к
созданию теории изображений, составляющей основу начертательной геометрии.
Правила построения изображений основаны на методе проекций. Поэтому
проекционный метод построения изображений является основным методом
начертательной геометрии.

4. ПРОЕКЦИЯ

Проецирование – это процесс построения
изображения предмета на
плоскости/повехности. Получившиеся при
этом изображение называют проекцией
предмета.
Слово проекция возникло от латинского
projection – бросание вперед. В данном
случае мы смотрим (бросаем взгляд) и
отображаем то, что видим, на плоскости
листа.

5. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ

Проецируемая
точка (А)
Плоскость
проекций (H)
А
Проецирующий луч (АA’)
А’
H
Проекция
точки А на
плоскости (A’)

6. АППАРАТ ПРОЕЦИРОВАНИЯ

5
Аппарат проецирования включает:
• Проецирующие лучи,
• Проецируемый объект.
• Плоскость, на которой получается изображение оригинала.
Изображение точки А-оригинал на плоскости Н - точка А‘-проекция
точки/модель получается в пересечении проецирующего луча, проходящего
через точку А, с плоскостью Н- плоскость проекций.
Все лучи проецирующие геометрическую фигуру, исходят из одной точки Sцентр проекций.
Проецирование – это процесс построения проекции предмета.
Плоскость проекции – плоскость на которой получается проекция.
Проецирующий луч – прямая с помощью которой строится проекция вершин,
граней, ребер.

7. ВИДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ

8.

Центральное проецирование
Если проецирующие лучи исходят из
одной точки S, то такое проецирование
называется центральным.
Точка S, из которой выходит проекция –
центр проецирования.
ПРИМЕР: фотоснимки и кинокадры,
тени, отброшенные от предмета лучами
электрической лампочки.
S
A
А’
C
B
С’
В’
Н

9.

Центральное проецирование
S
Точка S-центр проекций
находится на определенном
расстоянии от
Н- плоскость проекций, то
такое проецирование является
центральным
A
А’
C
B
С’
В’
Н

10.

Параллельное проецирование
Если центр проекций удален в бесконечность, то все проецирующие лучи становятся параллельными и проецирование называется параллельным. В этом случае
задается направление проецирования S.
Ортогональное (прямоугольное) проецирование есть частный случай параллельного
проецирования, когда все проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций Н.
S
Ортогональная проекция получила
наибольшее распространение в технических
чертежах.
S
Примером параллельной проекции можно
условно считать солнечные тени предметов, а
также струи дождя.

11.

Параллельное
проецирование
B
s A
= ºпрямоугольное/ортогональное
проецирование
C
В’
А’
С’
≠ º- косоугольное
проецирование
Н

12.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНОГО
ПРОЕЦИРОВАНИЯ
1. Свойство однозначности. Проекцией точки на плоскость есть точка.
2. Свойство прямолинейности. Проекцией прямой линии на плоскость есть прямая.
3. Свойство принадлежности. Если точка принадлежит линии, то проекция точки
принадлежит проекции этой линии.
4. Свойство сохранения параллельности. Проекциями параллельных прямых являются
параллельные прямые.
5. Свойство деления отрезка в отношении. Если отрезок прямой линии делится
точкой в каком-либо отношении, то и проекция отрезка делится проекцией точки
в том же отношении.
6. Свойство параллельного переноса. Проекция фигуры не меняется при параллельном
переносе плоскости проекций.
Н
Н
Н
Три последние свойства
Н
обеспечивают более простое
построение изображения и меньше
искажают форму и размеры оригинала
по сравнению с центральной
проекцией.
Н
Н
Н
Н

13. ПРОЕЦИРОВАНИЕ НА ОДНУ ПЛОСКОСТЬ ПРОЕКЦИЙ

По полученной проекции мы
можем судить о ширине, длине
и о диаметре отверстия.
А какова высота предмета?
Н
Чертежи, полученные проецированием на одну плоскость
проекций, не обладают свойством обратимости, т.е.
по данному чертежу воспроизвести оригинал не
решается однозначно. Плоскость проекций задает только
две координаты предмета.

14.

При
проецировании
предмета на одну
плоскость
возникает
неопределенность
объемного
изображения.
Н

15. ПРОЕЦИРОВАНИЕ НА ДВЕ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ

16. ЧЕРТЕЖ ДЕТАЛИ В ДВУХ ПРОЕКЦИЯХ

5

17. Метод прямоугольного проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости был разработан французским ученым-геометром

18.

Вторая плоскость (метод Монжа)
V
А”
А
X
А’
H
90

19.

Модель основных плоскостей проекций.
Октанты пространства
Z
-У
II
X
III
V
I
IV
W VI
O
H
V
-X
VII
VIII
У
-Z

20. Точка

Z
V
А”
АZ
А
X
АX
W
А”’
O
А’
H
АY
Y

21. ПРОЕЦИРОВАНИЕ НА ТРИ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ

Три взаимно перпендикулярных плоскости проекций
образуют трехгранный угол.
Попарно пересеченные плоскости V, W и H
образуют оси проекций x, y и z.
Соответственно, полученный чертеж состоит из
трех прямоугольных проекций:
- Фронтальной (V) – вид спереди (главный)
- Горизонтальной (H) – вид сверху
- Профильной (W) – вид слева.
Вид – это изображение обращенной к наблюдателю
видимой части предмета.

22. Точка

Z
V
А”
y
X
АX
W
АZ
А x
А”’
z O
А'
П1
АY
Y
22

23.

Переход от
пространственной
модели к комплексному
(ортогональному)
чертежу
23

24.

Переход от пространственной модели к комплексному (ортогональному) чертежу
Z
V
А”
АZ
А
z
X
АX
O
x
y
А”’W
АY
А’
H
У
24

25.

Переход от пространственной модели к комплексному (ортогональному) чертежу
Z
V
А”
АZ
А”’W
z
X
АX
x
O
АY
y
А’
H
АY
У
У
25

26.

Переход от пространственной модели к комплексному (ортогональному) чертежу
Z
V
А”
АZ
А”’ W
z
X
АX
x
O
АY
y
А’
H
АY
У
У
26

27.

Переход от пространственной модели к комплексному (ортогональному) чертежу
Z
V
А”
АZ
А”’ W
z
X
АX
x
O
АY
y
А’
H
У
АY
У
27

28.

Переход от пространственной модели к комплексному (ортогональному) чертежу
Z
V
А”
АZ
А”’ W
z
X
АX
x
O
АY
y
А’
H
У
АY
У
28

29.

Переход от пространственной модели к комплексному (ортогональному) чертежу
Z
V
А’
АZ
А”’ W
z
X
АX
x
O
АY
У
y
А’
H
АY
У
29

30.

Переход от пространственной модели к комплексному (ортогональному) чертежу
Z
V
А”
АZ
А”’
W
z
АX
X
x
O
АY
У
y
А’
H
АY
У
30

31.

1. Положение точки в пространстве определяется
тремя координатами
A(x, y, z);
2. Положение проекции точки на плоскости проекций
определяется двумя координатами
А1(x, y), А2(x, z), А3(y, z);
3. Две проекции точки определяют ее положение в
пространстве;
4. Две проекции точки лежат на линии связи,
перпендикулярной координатной оси.
31

32.

Построить комплексный чертеж точки А(40, 25, 45)
Z
V
А”
АZ
А”’
W
Z=45
АX
X
O Y=25 АY
X=40
У
Y=25
А’
H
АY
У
32

33.

Построить комплексный чертеж точки А(40, 25, 45)
Z
V
А”
АZ
А”’
W
Z=45
АX
X
O Y=25 АY
X=40
У
Y=25
А’
H
АY
У
33

34. ПРОЕЦИРОВАНИЕ НА ТРИ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ

35.

ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ
ОТМЕТКАМИ
A
А6
Н0
Используется для решения задач изображения
рельефа/вертикальной планировки- способ
изображения земной поверхности и форм
организации ее благоустройства, когда
координата z значительно меньше, чем х, у.
C=C0
B-4
B

36.

СОВОКУПНОСТЬ НЕРОВНОСТЕЙ ЗЕМНОЙ
ПОВЕРХНОСТИ ПРИНЯТО НАЗЫВАТЬ РЕЛЬЕФОМ
МЕСТНОСТИ

37.

38.

Сущность метода ПРОЕКЦИЙ С
ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ
заключается в том, что данный предмет ортогонально
проецируется на комплексном чертеже только на одну
горизонтальную плоскость, а фронтальная проекция с
высотами точек объектов заменяется числами (отметками),
соответсвующими этим высотам точек

39.

ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ
ОТМЕТКАМИ
Для обратимости чертежа в ПЧО планы сопровождают
линейным масштабом, который указывается на чертеже
проградуированной двойной линией, сплошной основной и
сплошной тонкой.
Отметка точки, находящейся ниже «нулевой» плоскости,
считается отрицательной и проставляется со знаком «минус».

40.

Представление и обозначения геометрических объектов
в ПЧО
А
А4
Н0
Н0 – плоскость нулевого
уровня/основная
плоскость проекций
В2.5
С≡С0
В
А4
С0
В2.5
Н0
0 1 2
Отметка – это число,
которое выражает
расстояние в принятых
единицах измерения от
точки до горизонтальной
плоскости проекций
нулевого уровня
Отметка точки,
инцидентной нулевой
плоскости,
называется нулевой

41.

ГОРИЗОНТАЛИ
Точки земной поверхности, имеющие
равные высоты, соединяются плавными
кривыми, которые и носят название
горизонталей.
Для
понятия
сущности
изображения
рельефа местности горизонталями представьте
остров в виде горы. Уровень воды постепенно
поднимается. При этом на горе делаются
отметки уровней воды через одинаковое
количество метров по высоте.
Тогда
каждая
замкнутая
линия
(горизонталь) очертит внешнюю форму горы
на определенной высоте. Если все эти линии
спроектировать на плоскость, то получится
изображения горы в целом горизонталями.
Термин «горизонталь» иногда заменяют
термином «изогипса», что означает «линия
одинаковых высот».
Высота сечения – расстояние между
смежными секущими плоскостями по высоте
(между соседними горизонталями) .

42.

Представление и обозначения геометрических объектов
в ПЧО
h – изогипса, изо –
равный, гипсусвысота
Высота сечения – расстояние
между
смежными
секущими
плоскостями
по
высоте
(между
соседними
горизонталями)
соответствует линейному масштабу

43.

Линии в ПЧО
А
H0
А6
N0
O-7
В-5
d
В
O
H0
h
А6
d-7 O-7
H0
N0
h2
h – горизонтальная прямая
(горизонталь) на уровне 2 м
над плоскостью H0
A6B-5 – прямая общего
положения, N0 – точка
пересечения прямой с
плоскостью H0
d – горизонтальная
окружность на уровне
В-5
h2
0 2 4 6
-7м под плоскостью H0
5 – горизонталь/изогипса
топографической
поверхности

44. Аксонометрические проекции

Аксонометрия позволяет с использованием способа двух
изображений получить наглядное изображение фигуры (предмета).
Для построения наглядных изображений применяют способ,
состоящий в том, что предмет вместе с системой трех взаимно
перпендикулярных осей координат, к которым он отнесен в пространстве,
параллельно проецируется на некоторую плоскость, называемую
плоскостью аксонометрических проекций (или картинной плоскостью).
Проекция на этой плоскости называется аксонометрической
проекцией.

45. Основная теорема аксонометрии (теорема К. Польке 1851г.)

Три отрезка прямых произвольной длины, лежащих в
одной плоскости и выходящих из одной точки под
произвольными углами друг к другу, представляют
параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных
на прямоугольных координатных осях от начала.

46. Проецирование осей координат и отнесенной к ним точки А на плоскость аксонометрических проекций

α – картинная плоскость;
s – направление проецирования;
s ┴ α – прямоугольная
аксонометрия,
s не ┴ α – косоугольная
аксонометрия.
е – единичный отрезок;

47. Проецирование осей координат и отнесенной к ним точки А на плоскость аксонометрических проекций

α – картинная плоскость;
s – направление проецирования;
s ┴ α – прямоугольная
аксонометрия,
s не ┴ α – косоугольная
аксонометрия.
е – единичный отрезок;

48. Проецирование осей координат и отнесенной к ним точки А на плоскость аксонометрических проекций

α – картинная плоскость;
s – направление проецирования;
s ┴ α – прямоугольная
аксонометрия,
s не ┴ α – косоугольная
аксонометрия.
е – единичный отрезок;
xα, yα, zα – аксонометрические оси;

49. Проецирование осей координат и отнесенной к ним точки А на плоскость аксонометрических проекций

α – картинная плоскость;
s – направление проецирования;
s ┴ α – прямоугольная
аксонометрия,
s не ┴ α – косоугольная
аксонометрия.
е – единичный отрезок;
xα, yα, zα – аксонометрические оси;

50.

Проецирование осей координат и отнесенной к ним
точки А на плоскость аксонометрических проекций
α – картинная плоскость;
s – направление проецирования;
s ┴ α – прямоугольная
аксонометрия,
s не ┴ α – косоугольная
аксонометрия.
е – единичный отрезок;
xα, yα, zα – аксонометрические оси;

51. Проецирование осей координат и отнесенной к ним точки А на плоскость аксонометрических проекций

α – картинная плоскость;
s – направление проецирования;
s ┴ α – прямоугольная
аксонометрия,
s не ┴ α – косоугольная
аксонометрия.
е – единичный отрезок;
xα, yα, zα – аксонометрические оси;

52. Проецирование осей координат и отнесенной к ним точки А на плоскость аксонометрических проекций

α – картинная плоскость;
s – направление проецирования;
s ┴ α – прямоугольная
аксонометрия,
s не ┴ α – косоугольная
аксонометрия.
е – единичный отрезок;
xα, yα, zα – аксонометрические оси;

53. Проецирование осей координат и отнесенной к ним точки А на плоскость аксонометрических проекций

α – картинная плоскость;
s – направление проецирования;
s ┴ α – прямоугольная
аксонометрия,
s не ┴ α – косоугольная
аксонометрия.
е – единичный отрезок;
xα, yα, zα – аксонометрические оси;

54. Проецирование осей координат и отнесенной к ним точки А на плоскость аксонометрических проекций

α – картинная плоскость;
s – направление проецирования;
s ┴ α – прямоугольная
аксонометрия,
s не ┴ α – косоугольная
аксонометрия.
е – единичный отрезок;
xα, yα, zα – аксонометрические оси;

55. Проецирование осей координат и отнесенной к ним точки А на плоскость аксонометрических проекций

α – картинная плоскость;
s – направление проецирования;
s ┴ α – прямоугольная
аксонометрия,
s не ┴ α – косоугольная
аксонометрия.
е – единичный отрезок;
xα, yα, zα – аксонометрические оси;

56. Проецирование осей координат и отнесенной к ним точки А на плоскость аксонометрических проекций

α – картинная плоскость;
s – направление проецирования;
s ┴ α – прямоугольная
аксонометрия,
s не ┴ α – косоугольная
аксонометрия.
е – единичный отрезок;
xα, yα, zα – аксонометрические оси;
Аα – аксонометрическая проекция
точки A;
Аα' – вторичная проекция точки A.
Оα Аxα Аα′Аα - аксонометрическая
координатная ломаная.

57.

В общем случае еx ≠ еy≠ еz ≠ е
k, m, n - коэффициенты (или показатели) искажения по
аксонометрическим осям.
• Триметрическая проекция - все три показателя искажений
между собой не равны.
• Диметрическая проекция - два показателя искажения равны
(например, k = n), а третий отличен от них.
• Изометрическая проекция - все три показателя равны
(k=m=n).

58.

Теорема К. Польке справедлива для косоугольной
аксонометрии и недействительна для
прямоугольной аксонометрии.
Выбор аксонометрической системы координат и единичных
отрезков для прямоугольной аксонометрии не может быть
произвольным [Иванов Г.С. Начертательная геометрия: учебник. – 3изд. М.: ФГБОУ ВПО МГУЛ, 2012, с. 29].
Правила построения косоугольной и прямоугольной аксонометрических
проекций изложены в ГОСТ 2.317-2011.

59. Прямоугольные аксонометрические проекции

k2 + m2 + n2 = 2 [Иванов Г.С. Начертательная геометрия: учебник. –
3-изд. М.: ФГБОУ ВПО МГУЛ, 2012, с. 30-31]
Изометрическая проекция:
k=m=n → 3k2=2 → k≈0,82
принимают k=m=n=1 → увеличение линейных размеров в 1,22.
Диметрическая проекция:
пусть k=n, m=0,5k → 2k2+(0,5k) 2 =2 → k ≈0,94; m =0,47
принимают k=n=1; m=0,5 → увеличение линейных размеров в 1,06.

60. Углы между аксонометрическими осями

ИЗОМЕТРИЯ
ДИМЕТРИЯ

61. Построение аксонометрических проекций окружностей, расположенных в координатных плоскостях xy, xz, yz или в плоскостях, им

В прямоугольной изометрии и диметрии направление
больших осей эллипсов перпендикулярно свободным
аксонометрическим осям, а малые оси эллипсов совпадают по
направлению со свободными аксонометрическими осями.

62. Построение аксонометрической проекции окружности

ИЗОМЕТРИЯ: K=N=M=1
ДИМЕТРИЯ: K=N=1; M=0,5

63. Нанесение штриховки сечений в аксонометрических проекциях

ИЗОМЕТРИЯ

64. Нанесение штриховки сечений в аксонометрических проекциях

ДИМЕТРИЯ