Показательные уравнения и неравенства

1.

Тема:
«Показательные
уравнения
и неравенства».

2. 1. Какая функция называется показательной?

y = a , где a 0, a 1
x

3. 2. Какие из перечисленных ниже функций являются показательными?

1
у=2
х
2
у=х
2
3
у=
( 3)
4
(
)
да 5
у = 2 −3
х
нет
6
у=х
−1
да 7
у =
х
да
−х
да
нет
х
у = 5х
нет
8
у = 10
нет

4. Показательные уравнения

Уравнения вида af(x) = аh(х), где а ≠ 1, a > 0
называют показательными уравнениями
⟺
af(x) = аh(х)
f(x) = h(х)

5.

Основные методы решения
показательных уравнений

6.

Вынесение
общего
множителя за
скобки
Метод
использования
однородности
Методы
решения
ПУ
Метод
уравнивания
показателей
Метод
введения
новой
переменной

7. Метод уравнивания показателей

1)5 = 5 , х = 3
1)5 = 125
х
х
2) 2
3)3
3 х −6
=2
х −1
= −3
х
=8
4)8
5 х −8
5)11
2)2
3
3 х −6
1
= 2 ,3 х − 6 = 1, х = 2
3
1
3) Корней нет
х
4)8 = 81 , х = 1, х = 1
= 11
0
5)115 х −8 = 110 ,5х − 8 = 0, х = 1,6

8. Свойства степени

an ∙ am = an + m
an : am = an − m
(an)m = anm
(ab)n = an ∙ bn
(a : b)n = an : bn
1)3 = 1
0

9. Вынесение общего множителя за скобки

x+2
− 3 = 72
x
2
3
x
3 (3 − 1) = 72;
72
3 = ;
8
x
3x = 9;
3x = 32;
x=2
Ответ: 2

10. Метод введения новой переменной

2
x
1
x
4 −5 4 + 4 = 0
1
x 2
1
x
(4 ) − 5 4 + 4 = 0;
Пусть
1
x
4 = t, t 0.
t 2 − 5t + 4 = 0;
D = 25 − 16 = 9;
t1 = 4, t 2 = 1.
ОДЗ : x≠0
Вернемся кк
Вернемся
замене:
замене:
1
x1
=1
4
=
4
x
1
1 = 0
4 x = 1
x
x = 1
решений _ нет
Ответ: 1

11.

Решение:
4 x + 2 x +1 = 3,
4 x + 2 2 x − 3 = 0,
Сделаем
Уравнение примет
1 замену переменных. Пусть
вид
у 2 + 2 y − 3 = 0.
-3; 1
Полученное уравнение имеет корни
2 x = −3,
x
2
= 11 x= 0 .
Сделаем обратную замену: x
2 = 1
1
Ответ: 1

12.

Метод
введения новой переменной
9
x 2 −1
− 36 3
2( x 2 −1)
3
x 2 −3
− 9 4 3
+3=0
x 2 −3
+ 3 = 0;
Вернемся к
замене:
3x −1 = 3 x 2 − 1 = 1
2
2
x −1
3
=1
x − 1 = 0
2
Пусть
x 2 −1
3
= t, t 0.
t 2 − 4t + 3 = 0;
t1 = 3, t2 = 1.
x = 0
x = 0
x1 = 1
2
x = 1 x = −1
2
2
Ответ: 0,1,-1

13. Использование однородности

64 9 x − 84 12 x + 27 16 x = 0
64 32 x − 84 3x 4 x + 27 42 x = 0
Разделив обе части
уравнения на
42 x ,
получим:
Вернемся к
замене:
3
3
64 ( )2 x − 84 ( )x + 27 = 0
4
4
3 x 3
( 4 ) = 4
( 3 )x = 9
4
16
Пусть
3
( )x = t, t 0.
4
64t − 84t + 27 = 0;
x = 1
x = 2
3
9
, t2 = .
4
16
Ответ: 1 или 2
2
t1 =

14. Укажите методы решения показательных уравнений.

1.
4.
2.
5.
3.
6.
Метод
уравнивания
показателей.
Функционально –
графический метод.
2, 6
1, 5
Метод введения
новой переменной.
3, 4

15. Какое неравенство называется показательным?

Какое неравенство
показательным?
a
f ( x)
a
g ( x)
называется
, где a 0,a 1

16. Что нужно учесть при решении показательных неравенств ?

Решить неравенство 2x 1
2 x 20
x 0.
?
Что нужно учесть при решении простейших
показательных неравенств ?
1. Привести основания степени к одинаковому основанию
2. Использовать свойства монотонной функции

17. Решите неравенства

x
8 x −3
8 x −3
3x 81
R
x
x
3 x 34
4
2
3 9
x
2
2
2
3 3
x 2
x 4
Ответ:
x
Ответ: Х-любое
x ( − ;4
Ответ:
( − ; 4
4
x
x
2
x 2; + )
Ответ: 2; +
)

18. Решите неравенство

1
25− x +3
5
(5 )
2 − x +3
(5
3 x −1
)
−1 3 x −1
5−2 x + 6 5−3 x +1
−2x + 6 −3x + 1
−2x + 3x 1 − 6
x −5
-5
x −5; + )
x
Ответ:
−5; + )

19. Решите неравенство

1
x −5 x
7
7
x 2 −5 x
7
7 −6
6
2
x 2 − 5 x −6
x2 − 5x + 6 0
+
( x − 2) ( x − 3) 0
2 x 3
2
x ( 2;3)
_
2
3
+
3
x
Ответ:
( 2;3)

20.

Решите неравенство
0,36
7 x +1
2− x
1
7 x +1
2− x
0,36
0,360
7x +1
0
2− x
( 7 x + 1)( 2 − x ) 0
( 7 x + 1)( x − 2) 0
1
− x 2
7
−
1
7
2
x
1
Ответ: − ; 2
7

21.

Решите уравнения и неравенства.
1) 2 2
x
3
x
1
1
2)
3 3
1
5)
6
x
= 36
3) 10
x +3
х +3
х
4
4)2
1000
− 2 = 28