Новая презентация (1)

1.

Геометрический смысл комплексного числа
Дарбазанов Тимур 214 группа

2.

1. Комплексная плоскость и точки
Обычные числа находятся на одной линии, а комплексные — на целой плоскости.
У любого комплексного числа z = a + bi есть две части, и мы используем их как обычные координаты (x; y):
Действительная часть (a) откладывается по горизонтальной оси
Мнимая часть (b) откладывается по вертикальной оси.
Простой пример:
Возьмем число z = 3 + 2i. Геометрически это просто точка на графике. Чтобы ее найти, шагаем от центра на 3 шага вправо и на
2 шага вверх. Вот и всё, получилась точка с координатами (3; 2).

3.

2. Модуль и аргумент: длина и угол
Если провести стрелку (вектор) из центра координат прямо к нашей точке, у нее появятся две понятные характеристики:
1. Модуль — это длина вектора. Ее легко посчитать по обычной теореме Пифагора.
2. Аргумент — это угол, на который стрелка наклонена относительно горизонтальной оси.
Простой пример:
Возьмем число z = 1 + i. На графике это точка (1; 1).
Длина стрелки (модуль): считаем по Пифагору: 12 + 12 = 2
Угол (аргумент): так как мы сместились на 1 вправо и на 1 вверх, получился равнобедренный треугольник.
Значит, угол наклона равен ровно 45°.

4.

3. Геометрический смысл действий (Магия на плоскости)
Сложение — это обычный сдвиг. Когда мы прибавляем одно число к другому, мы просто двигаем точку по плоскости.
Пример: Если к числу 3 + 2i прибавить 1 + 2i, мы сдвигаем точку на 1 вправо и на 2 вверх. Итог: 4 + 4i.
Умножение — это поворот и растяжение. Когда мы умножаем числа, их стрелки-векторы меняют длину,
а углы просто складываются.
Пример с мнимой единицей: Если мы умножим число 3 + 2i на i, то по формулам получится -2 + 3i. А на графике произошло
вот что: наша стрелка повернулась ровно на 90° против часовой стрелки, а ее
длина вообще не изменилась. Умножение на i — это всегда чистый поворот на прямой угол.
Сопряжение — это зеркало. Сопряженное число — это когда мы меняем знак перед мнимой частью
(было 3 + 2i, стало 3 - 2i).
Пример: На графике точка (3; 2) из-за смены знака просто зеркально отражается сверху вниз и
превращается в (3; -2).

5.

Вывод
Геометрический смысл комплексных чисел в том, что они управляют движением на
плоскости. Сложение отвечает за перемещение (сдвиг), а умножение — за повороты и
масштабирование. Именно поэтому их так любят инженеры и программисты: через них
гораздо проще программировать компьютерную графику, вращение объектов или
описывать радиоволны и переменный ток.