Задание №6 ЕГЭ: Теория вероятностей и статистика

1.

ЕГЭ · ПРОФИЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА · 11 КЛАСС
Задание №6 ЕГЭ:
Теория вероятностей и статистика с нуля
Понятный разбор всех ключевых формул и типовых задач для
подготовки к экзамену
E(X)
D(X)
σ
Чебышёв
статистика

2.

ТЕОРИЯ
2 / 13
Закон распределения и матожидание E(X)
Закон распределения
Математическое ожидание E(X)
Дискретная случайная величина
задаётся перечнем значений и
вероятностей. Сумма всех
вероятностей обязана равняться 1.
Теоретическое среднее значение: к нему приближается
среднее результатов при многократном повторении
опыта.
E(X) = X1P1 + X2P2 + … + XnPn
Σ Pi = 1
Выборка: Xср = (X1 + … + Xn) / n
Пример на пальцах: игральный кубик
Значения X = 1, 2, 3, 4, 5, 6, каждое выпадает с вероятностью P = 1/6.
E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 21/6 = 3,5

3.

ТЕОРИЯ
3 / 13
Отклонения, дисперсия D(X) и σ
Отклонение
Дисперсия D(X)
Разница со знаком и расстояние до среднего
(без знака):
Средний квадрат отклонений, где
E(X²) = Σ Xi²·Pi. Быстрая формула — вторая:
Δ = X − E(X)
D(X) = Σ (Xi − E(X))²·Pi
|Δ| = |X − E(X)|
D(X) = E(X²) − [E(X)]²
Стандартное отклонение σ
Неравенство Чебышёва
Корень из дисперсии — разброс в тех же
единицах, что и сама величина:
Оценка вероятности отклониться от среднего
не меньше чем на a > 0:
σ = √D(X) ⇔ D(X) = σ²
P(|X − E(X)| ≥ a) ≤ D(X) / a²

4.

ПРОТОТИП 1
4 / 13
Прямой поиск математического ожидания
УСЛОВИЕ
Дискретная случайная величина X задана
законом распределения. Найдите
математическое ожидание E(X).
X
−10
−2
5
20
P
0,1
0,4
0,3
0,2
РЕШЕНИЕ
Шаг 1. Применяем формулу: E(X) = Σ Xi·Pi
Шаг 2. Выполняем почленное перемножение:
E(X) = (−10)·0,1 + (−2)·0,4 + 5·0,3 + 20·0,2
Шаг 3. Складываем слагаемые:
E(X) = −1,0 − 0,8 + 1,5 + 4,0 = 3,7
Ответ: 3,7

5.

ПРОТОТИП 2 · таймкод 1:00:41
5 / 13
Нахождение неизвестной вероятности p
УСЛОВИЕ
Случайная величина X задана таблицей.
Найдите её математическое ожидание E(X).
X
−2
0
1
10
P
0,3
0,3
0,2
p
РЕШЕНИЕ
Шаг 1. Находим p из нормировочного свойства (Σ Pi = 1):
0,3 + 0,3 + 0,2 + p = 1 ⇒ 0,8 + p = 1 ⇒ p = 0,2
Шаг 2. Подставляем p = 0,2 в формулу математического ожидания:
E(X) = (−2)·0,3 + 0·0,3 + 1·0,2 + 10·0,2
E(X) = −0,6 + 0 + 0,2 + 2,0 = 1,6
Ответ: 1,6

6.

ПРОТОТИП 3 · таймкод 1:02:16
6 / 13
Закрепление: неизвестная вероятность p
УСЛОВИЕ
Случайная величина X принимает значения,
указанные в таблице. Найдите E(X).
X
−4
0
2
10
P
p
0,2
0,2
0,3
РЕШЕНИЕ
Шаг 1. Находим p из суммы вероятностей:
p + 0,2 + 0,2 + 0,3 = 1 ⇒ p + 0,7 = 1 ⇒ p = 0,3
Шаг 2. Вычисляем математическое ожидание:
E(X) = (−4)·0,3 + 0·0,2 + 2·0,2 + 10·0,3
E(X) = −1,2 + 0 + 0,4 + 3,0 = 2,2
Ответ: 2,2

7.

ПРОТОТИП 4
7 / 13
Обратная задача: найти a по E(X)
УСЛОВИЕ
Случайная величина X имеет математическое
ожидание E(X) = 2,6. Найдите значение параметра a.
X
−5
a
6
P
0,2
0,3
0,5
РЕШЕНИЕ
Шаг 1. Записываем уравнение математического ожидания по определению:
E(X) = (−5)·0,2 + a·0,3 + 6·0,5 = 2,6
Шаг 2. Упрощаем числовые слагаемые:
−1,0 + 0,3a + 3,0 = 2,6 ⇒ 2,0 + 0,3a = 2,6
Шаг 3. Находим a:
0,3a = 2,6 − 2,0 = 0,6 ⇒ a = 0,6 / 0,3 = 2
Ответ: 2

8.

ПРОТОТИП 5
8 / 13
Вычисление дисперсии D(X)
УСЛОВИЕ
Случайная величина X распределена по закону,
заданному таблицей. Найдите дисперсию величины
X.
РЕШЕНИЕ
Шаг 1. Находим E(X):
E(X) = (−3)·0,2 + 1·0,5 + 5·0,3 = −0,6 + 0,5 + 1,5 = 1,4
[E(X)]² = 1,4² = 1,96
Шаг 2. Находим E(X²) (значения X² равны 9, 1, 25):
E(X²) = 9·0,2 + 1·0,5 + 25·0,3 = 1,8 + 0,5 + 7,5 = 9,8
Шаг 3. Вычисляем дисперсию:
D(X) = E(X²) − [E(X)]² = 9,8 − 1,96 = 7,84
Ответ: 7,84
X
−3
1
5
P
0,2
0,5
0,3

9.

ПРОТОТИП 6
9 / 13
Среднеквадратичное отклонение σ
УСЛОВИЕ
Случайная величина X задана законом распределения.
Найдите среднеквадратичное отклонение σ.
РЕШЕНИЕ
Шаг 1. Среднее значение: E(X) = 2·0,5 + 6·0,5 = 1 + 3 = 4
Шаг 2. Отклонения: Δ1 = 2 − 4 = −2, Δ2 = 6 − 4 = 2
Шаг 3. Квадраты отклонений: (−2)² = 4, 2² = 4
Шаг 4. Дисперсия: D(X) = 4·0,5 + 4·0,5 = 4
Шаг 5. Стандартное отклонение: σ = √D(X) = √4 = 2
Ответ: 2
X
2
6
P
0,5
0,5

10.

ПРОТОТИП 7 · таймкод 1:19:17
10 / 13
Задача на проценты (производство)
УСЛОВИЕ
На предприятии изготавливают детали трёх типов: массой
30 г, 70 г и 110 г. Детали первого типа составляют 10%
всей продукции, второго типа — 70%, третьего типа —
20%. Случайно выбирают одну деталь. Найдите
математическое ожидание её массы в граммах.
X, г
30
70
110
P
0,1
0,7
0,2
РЕШЕНИЕ
Шаг 1. Переводим проценты в вероятности (проверка: 0,1 + 0,7 + 0,2 = 1,0):
P(30) = 10% = 0,1; P(70) = 70% = 0,7; P(110) = 20% = 0,2
Шаг 2. Математическое ожидание по определению:
E(X) = 30·0,1 + 70·0,7 + 110·0,2
Шаг 3. Складываем слагаемые: E(X) = 3 + 49 + 22 = 74 г
Ответ: 74

11.

ПРОТОТИП 8
11 / 13
Описательная статистика выборки
УСЛОВИЕ
Дана выборка результатов измерений: 4, 11, 2, 8, 15. Найдите:
1) среднее арифметическое Xср; 2) размах выборки R; 3) медиану Me.
РЕШЕНИЕ
Шаг 1. Упорядочим ряд по возрастанию: 2, 4, 8, 11, 15 (всего n = 5 чисел).
Шаг 2. Среднее арифметическое:
Xср = (2 + 4 + 8 + 11 + 15) / 5 = 40/5 = 8
Шаг 3. Размах — разность наибольшего и наименьшего:
R = Xmax − Xmin = 15 − 2 = 13
Шаг 4. Медиана — центральное число в упорядоченном ряду: Me = 8.
Среднее: 8; Размах: 13; Медиана: 8

12.

ПРОТОТИП 9
12 / 13
Неравенство Чебышёва
УСЛОВИЕ
Средний диаметр производимого подшипника равен E(X) = 20 мм, а стандартное
отклонение составляет σ = 0,3 мм. Оцените вероятность того, что случайно взятый
подшипник отклонится от среднего размера более чем на 1,2 мм.
РЕШЕНИЕ
Шаг 1. Дисперсия: D(X) = σ² = 0,3² = 0,09
Шаг 2. Граница отклонения: a = 1,2
Шаг 3. Применяем неравенство Чебышёва (оценка сверху):
P(|X − 20| ≥ 1,2) ≤ D(X)/a² = 0,09/1,44 = 9/144 = 1/16 = 0,0625
Значит, вероятность такого отклонения не больше 0,0625.
Ответ: 0,0625

13.

ЧЕК-ЛИСТ
Шпаргалка-алгоритм на экзамен
1
Проверь сумму вероятностей в строке P.
Сумма не равна 1? Найди неизвестное: p = 1 − Σ Pизв
2
Матожидание: умножай каждое X на своё P и складывай.
E(X) = X1P1 + X2P2 + … + XnPn
3
Дисперсия: быстрее всего считать через E(X²).
D = E(X²) − [E(X)]²
4
Стандартное отклонение σ: извлеки корень из дисперсии.
σ = √D
13 / 13